Maximaler Flächeninhalt eines Halbkreises

Question

Meine Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Der Querschnitt eines Tunnels habe die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis. Der Umfang U des Querschnittes sei fest vorgegeben. Für welchen Radius r wird der Flächeninhalt des Querschnitts am größten?

Ich habe leider keine Ahnung wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll :/

Über eine hilfreiche Antwort würde ich mich sehr freuen :)

Answer 1

U = 2·h + r·(pi + 2)
h = (U - r·(pi + 2))/2

A = 2·h·r + pi·r^2/2 | hier für h einsetzen
A = 2·(U - r·(pi + 2))/2·r + pi·r^2/2 = r·U - r^2·(pi + 4)/2
A' = U - r·(pi + 4)

Extrema bei A' = 0

U - r·(pi + 4) = 0
r = U/(pi + 4)

h = (U - U/(pi + 4)·(pi + 2))/2 = U/(pi + 4)

Die Höhe h sollte damit genau so lang sein wie der Radius r.