Maximaler Flächeninhalt

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x)= 10x*e^-x^2. Durch den Ursprung 0, einen Punkt A(a|0) und P(a| f(a)) wird ein Dreieck bestimmt. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, den ein solches Dreieck annehmen kann.

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass sich mit dieser Aufgabe hier schon beschäftigt wurde, leider konnte ich damit aber nichts anfangen. Ich weiß, dass der Hochpunkt berechnet werden muss und wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet. Leider komme ich nicht auf die Nebenbedingung, weshalb es super lieb wäre, wenn ein vollständiger Lösungsweg mit Nebenbedingung, Zielfunktion erarbeitet werden könnte.

Vielen Dank an alle im Voraus

Answer 1

A = 1/2 * a * (10·a·e^(- a^2))

A = 5·a^2·e^(- a^2)

A' = 10·a·e^(- a^2)·(1 - a^2) = 0 → a = ± 1

Den Flächeninhalt solltest du jetzt durch einsetzen In |A| selber berechnen können.

Answer 2

Gegeben ist die Funktion f(x)= 10x*e^-x2. Durch den Ursprung 0, einen Punkt A(a|0) und P(a| f(a)) wird ein Dreieck bestimmt. Berechnen Sie den maximalen Flächeninhalt, den ein solches Dreieck annehmen kann.

A(a,f(a))=1/2*a*f(a)

A(a,f(a))=1/2*a*10a*e^{-a^2}

A(a)=5a^2*e^{-a^2}

A'(a)=10ae^{-a^2}-10a^3*e^{-a^2}

<=> A'(a)= -10a(a^2-1)e^{-a^2}

==> 0= -10a(a^2-1)e^{-a^2}

      a_{1}=0  v   a_{2,3}=±1

Nur a_{2} ist eine Lösung.

Comments

Nur a2 ist eine Lösung.

Warum ist nur a2 eine Lösung?

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Aufgrund der Nebenbedingung, die man i. d. R. bei geometrischen/stereometrischen Problemen größer gleich 0 setzt.

10a·e^{-a²} ≥ 0

a ≥ 0

Ich weiß aber genau, dass man auch die gespiegelte Version nehmen könnte:

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a(1) ist ein Tiefpunkt mit Flächeninhalt null.

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Bei a1 entsteht überhaupt kein Dreieck wie es gefordert wird. Daher ist a1 sicher keine Lösung.

Wenn durch die Aufgabe negative Werte von a nicht ausgeschlossen werden gehört aber auch a = -1 zur Lösung.

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Zur Kontrolle
a(2) = 1
a(3) = -1
A in beiden Fällen = 10 / e

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@georgborn

Das ist auch der Randwert; den müsste man normalerweise untersuchen - das hast du nun getan und kannst daraus schlussfolgern, dass die Lösung, die du aus der Ableitung der Hauptbedingung errechnet hast, die richtige ist. Teilweise kann es aber sein, dass der Randwerte das absolute Maximum ist und die Nullstelle der Ableitung nur das lokale Maximum auf dem Intervall.

@Der_Mathecoach

 Für mich ist eine Länge ein Wert >0. Vor allem, weil nicht jede Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

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Gute Frage, weil wenn man a=1 bzw. a=-1 in die Zielfunktion einsetzt kommt beide Male exakt das gleiche raus.

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In der Frage ging es nicht um Längen sondern nur um drei Punkte.

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Weil die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist.

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In der Frage ging es nicht um Längen sondern nur um drei Punkte.

Die Punkte multipliziert man aber nicht miteinander, um den Flächeninhalt zu erhalten, sondern den Abstand (Länge) zwischen ihnen.

A=-3.67·(-1)=3.67

Ob das richtig ist, liegt stark im Auge des Betrachters. Man darf sich durch die Funktion nicht irren lassen, weil dort wird der negative Wert quadriert...!

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Ok also das heißt, sofern negative Werte für a in der Aufgavenstellung nicht ausggeschlossen werden, kann ich für die Lösung a= +- 1 angeben, oder?

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Vertrau einfach mal Mathecoach, der hat mehr Erfahrung mit Aufgaben aus der Schule - er gibt Nachhilfe!

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Ok also das heißt, sofern negative Werte für a in der Aufgavenstellung nicht ausggeschlossen werden, kann ich für die Lösung a= +- 1 angeben, oder?

Ja. Aber die Lösung der Aufgabe ist mit a= ±1 noch nicht fertig. Verwirrt dich das, dann lies noch mal die genaue Aufgabenstellung durch. Also was du angeben sollst.

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Achso ne ist schon klar, aber mit a= +- 1 wird der Flächeninhalt des Dreiecks mit ich glaube 1,84cm^2 am größten, so könnte man es doch schreiben, oder nicht?

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Schreib ruhig

A = 5/e = 1.839

Also sei in der Mathematik ruhig exakt, wenn es sich anbietet und nicht ein zu komplizierter Ausdruck ist.

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Achso ja wir dürfen das mit „Bestimme“ lösen, das heißt ich hab die Zielfunktion im Taschrechner definiert und dann 1 eingesetzt deshalb würde ich es vermutlich so wie ich es oben geschrieben hab, hinschreiben, hoffe das geht auch aber meine eigtl schon

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Ja. Dann darfst du das auch so machen.

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Fehlerkorrektur
Ich hatte vergessen : mal 1/2.
Zur Kontrolle
a(2) = 1
a(3) = -1
A in beiden Fällen = 10 / e * 1/2

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Und hier noch die Akizze für A

2 Hochpunkte bei -1 und + 1