Doppelte Integration Reihenfolge

Question

ich versteh bei doppelter Integration folgende Sache nicht. Ich erkläre das am besten an den folgenden Beispiel:

Berechnen Sie das Integral $$\int _{ D }^{  }{ x\quad d(x,y) } $$ uber den Bereich D C R^2, der durch folgende Ungleichungen beschrieben wird: 0 <=  x <= 1 , 0 <= y <= -3 x + 3 .

Das sieht ja dann so aus: $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ (\int _{ 0 }^{ -3x+3 }{ x\quad dy)\quad dx }  } $$

Jetzt nun zur Frage:

Warum darf ich die Integration untereinander nicht tauschen?? D.h. ich integriere erst nach x und dann nach y. Gibt es da vielleicht eine Regel oder so??

Answer 1

Das innere Integral hat ja eine Grenze, die von x abhängt.

Deshalb kannst du nicht zuerst über x integrieren.

Wenn es anders aussieht, geht es schon:

Satz von Fubini

Answer 2

Hi,

du kannst die Reihenfolge der Integration schon vertauschen, dafür müsst du aber die Grenzen anpassen:

Aus den obigen Ungleichungen ergibt sich:

$$ 0 \leq y \leq 3 \wedge 0 \leq x \leq 1- \frac{y}{3} $$

Also kannst du auch das Integral:

$$ \int \limits_0^3 \left( \int \limits_0^{1- \frac{y}{3}} x dx \right)dy $$

berechnen.

Gruß

Comments

Wie kommst du auf die Grenze 0 <= y <= 3.???
Die andere Grenze hab ich verstanden, das ist ja nur umstellen.

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Zeichne dir die Menge über die integriert werden soll in ein Koordinatensystem. Dann sollte es klar sein.