<< Du kannst ja erst mal a=1 und b=1 nehmen und das c etwas variieren .
In dem ( hier ach so geschmähten ) Konkurrenzportal ===> Ly cos wurde ich ins kalte Wasser geschmissen. Gleich in den ersten Tagen kam so eine ähnliche Aufgabe; wann hat die Funktion
f ( x ; c ) := x
2 + x + c + 1 / x = 0 ( 2.1 )
ein, zwei bzw. drei Nullstellen?
Ich war erst mal so perplex; meine erste Antwort war sogar falsch.
" Du bist ja verrückt. "
Bis in mir nach Monaten die Idee reifte, dieses c ist ein linearer Parameter. Fass doch einfach ( 2.1 ) auf als ===> Nomogramm
c = c ( x ) = - ( x
2 + x + 1 / x ) ( 2.2 )
Plotte den Grafen ( 2.2 ) raus. Dann lege das Lineal an die Markierung c der Ordinate; dann kannst du an dem Lineal direkt die Nullstelle(n) ablesen; das sind nämlich die Scnnittpunkte des Nomogramms mit dem Lineal.
Mit einer stink normalen Kurvendiskussion ( KD ) verschaffst du dir einen Überblick sogar über die Asymptotik der Nullstellen. Bei einer gebrochen rationalen Funktion musst du immer von Rechts kommen. Asymptotisch hast du bei ( + °° ) eine nach Unten geöffnete Parabel.
In der Umgebung der Singularität geht die Hyperbel in Führung; das Residuum ist negativ. Das ist genau der Punkt; von Rechts wenn du kommst, bleibt es unzweideutig. Die Kurve haut ab nach ( - °° ) ; wir erwarten ein Maximum . Dieses Maximum trennt quasi die beiden Regime " Parabel " und Hyperbel "
An dem ( ungeraden ) Pol hast du einen Vorzeichenwechsel; wenn wir weiter unbeirrt von Rechts nach Links gehen, geht die Hyperbel in die Rechtskurve, die Parabel macht dann wieder links um - wir haben einen WP. Wichtig für uns sind jedoch alleine Extrtema; gibt es außerordentliche Überschwinger?
c ' ( x ) = 1 / x ² - 2 x - 1 = 0 ( 2.3a )
2 x ³ + x ² - 1 = 0 ( 2.3b )
Tatsächlich sagt die CV das erwartete ( eindeutige ) Maximum > 0 voraus. Negativ hüllt sie sich in sibyllinisches Schweigen.
Für ein kubistisches Polynom wie ( 2.3a ) stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder es ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln ( was sich hier leider als richtig heraus stellen wird ) Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ab. Schau mal, was Pappi alles weiß.
https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) damit ist aber x ( max ) unmittelbar als irrational entlarvt. Vgl. Wolfram
https://www.wolframalpha.com/input/?i=+2++x++%C2%B3++%2B++x++%C2%B2++-++1++ Die Behauptung von Wiki, der SRN stamme von Gauß, stellt aber eine Fälschung dar wie die alten Rembrandtgemälde auch.
1) Warum kennt dein Lehrer den SRN nicht?
2) Wikis ältestes Zitat ist 2006 , das wahrscheinliche Entdeckungsjahr. Seriös wäre ===> v.d. Waerden ( 1930 )
3) aus dem SRN ergibt sich ein trivialer kanonischer Irrationalitätsbeweis von Wurzel ( 2 ) Warum hat man noch nie davon gehört?
4) Innerhalb einer Woche, nachdem mir der SRN bekannt wurde, gelangen mir gleich drei Entdeckungen zu dem Thema. Und weder Gauß noch die seit ihm verflossenen 200 Jahre sollten das zu Wege gebracht haben? Aber der erste zu sein seit 2006 - das alleine verleiht mir schon ein gewisses Format.
Wolfram hat x ( max ) = .6573 ; kein Internetportal, erst recht kein Lehrer verlangt Polynomdivision ( PD ) durch Gleitkommagrößen. Wir wollen doch weiter nichts beweisen, als dass die beiden noch verbleibenden Wurzeln komplex sind. Mein Vorschlag: Vieta das geschmähte Stiefkind. Vorsicht; Vieta ist keine PD. Normalform ist Pflicht.
x ³ + 1/2 x ² - 1/2 = 0 ( 2.3c )
a2 = - [ x ( max ) + 2 Re ( z0 ) ] = 1/2 ===> Re ( z0 ) = ( - .578 ) ( 2.4a ) ; vgl. Wolfram
a0 = - x ( max ) | z0 | ² = ( - 1/2 ) ===> | z0 | = .8722 ( 2.4b )
Sei zunächst c < 0 dem Betrage nach sehr groß. Dann geht asymptotisch
x1 ===> ( - °° ) ; x2 ===> ( + 0 ) ; x3 ===> ( + °° ) ( 2.5 )
Dann im Grenzfall c = c ( max ) hast du eine doppelte Nullstelle x2;3 = x ( max ) In ( 2.2 ) kannst du dich übrigens unmittelbar überzeugen, dass c ( max ) negativ sein muss.
Oberhalb von c ( max ) überlebt nur noch x1 als einzige reelle Wurzel; für c ===> ( + °° ) geht diese gegen ( - 0 )
