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Hallo :)

ich bin neu hier und habe auch direkt eine Frage.

Es geht um gebrochenrationale Funktionen.

Gegebene Funktion: ax2 +bx+c+(1/x)

Aufgabenstellung: in die Parameter a/b/c Zahlen von -3 bis 3 einsetzen und erklären wie sich der Graph verändert hinsichtlich:

-Verlauf im Koordinatensystem

-Eigenschaften/Merkmale/besondere Kennzeichen

-Schnittpunkte mit den Achsen

-Unterschiede/Gemeinsamkeiten

Ich bin gerade überfordert, wie ich die Sache angehen soll. Welche Zahlen wären schlau einzusetzen und wie viele verschiedene Graphen muss ich zeichnen, um irgendwie unterschiede zu sehen? Steh irgenwie auf dem Schlauch, kann mir jemand ein Tip geben wie ich am besten beginnen sollte mit der Aufgabe?

Hoffe ich habe alles verständlich erklärt und jemand hat eine Idee :)

Vielen Dank schonmal und liebe Grüße,

Maja

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2 Antworten

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Du kannst ja erst mal a=1 und b=1 nehmen und das c etwas variieren.

Dann siehst du:

Der Graph wird verschoben nach oben (für positives c ) bzw. nach unten

für negatives c.

Das c ist dann der Abschnitt auf der y- Achse.

Wenn du nun b und c festhältst ( etwa b=1 und c=0 ) und dann dann das

a variierst, siehst du, so was

~plot~x^3+x+1/x; 2x^3+x+1/x ; 3x^3 + x +1/x ~plot~

Die Scheitelpunkte von den beiden Stücken liegen höher bzw. tiefer.

Kannst ja dann mal a und c fest halten und schauen, was beim

Ändern von b passiert.

Avatar von 289 k 🚀

Super, vielen Dank für die schnelle Antwort, das werde ich gleich mal probieren! :)

Ah und vielleicht kann mir auch noch jemand sagen, wie ich an der oben genannten Funktion sehen kann, wo die Polstelle und wo die Asymptote lang verläuft? Oder muss ich da in die Scheitelform umwandeln?

Die Polstelle ist jedesmal bei x=0.

Denn für x kannst du ja keine 0 einsetzen, weil es im

Nenner steht. Du siehst es an der Skizze, dass bei x=0 der

Graph rechts und links nach oben "wegläuft".

Und die y-Achse ist dann eine sekrechte Asymptote.

Achtung!

Die Funktion lautete: f(x) = ax^2 + bx + c + 1/x

Ich hätte hier erstmal eine allgemeine Kurvendiskussion gemacht inkl. Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte. Weil du darauf ja auch eingehen sollst.

mathef schreibt:
Das c ist dann der Abschnitt auf der y- Achse.

Sicher nicht, es gibt hier gar keinen Abschnitt auf der y-Achse!
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  Ich würde mich mal gerne mit dir unterhalten. Wie alt bist du; welche Klasse?
   Weil für Studenten ist die Aufgabenstellung eindeutig zu naiv.
   Jetzt greife ich mal ein Symptom heraus; deine Nullstellen ( nach denen du ausdrücklich fragst )



    a  x  ³  +  b  x  ²  +  c  x  +  1  =  0   (  1  )



   Als Erstes solltet ihr immer die cartesische Vorzeichenregel ( CV ) anwenden - hier die lernen noch nicht mal Studenten.  Gesetzt einmal den Fall



    a  >  0  ;  b  >  0  ;  c  >  0     (  2  )



    Gleich für x > 0 brettert die CV auf einen Entartungsfall - hier wie soll denn die Summe aus lauter positiven Gliedern Null ergeben?
    Dagegen für x < 0 hast du die Signatur


     (  -  ;  +  ;  -  ;  +  )    (  3  )


   Das sind drei Vorzeichenwechsel; eine Wurzel ist uns sicher. Aber unter welcher Bedingung sind es drei?
  Du wirst mir zugeben; auch nur ein flüchtiger Blick in Wolfram enthüllt dir jene Cardanische Wahnsinnsfoermel - mein Gruppenleiter hätte gespottet

  " Was sagt uns das? Nichts. Und? Was haben wir davon? Wieder nichts. "

     Ich meine - solche Aufgaben sind in einem gewissen sinne " unlösbar " Wer gibt sie euch auf? Was für Erfahrungen habt ihr?
   Dies ist wohl das erste Mal, dass ich in diesem Forum nicht einfach meiner Natur gemäß sage

  " So ist es. Und jetzt seht es endlich, endlich ein. "


   Sondern ich fordere dich zu einer Debatte heraus; den Irrsinn hinter dieser Hausaufgabe zu rechtfertigen.

   Und wenn deine Forderungen " erfüllbar " bleiben, will ich auch gerne was für dich tun.

     Hier ich hatte mal einen Prof, der sagte immer in der Prüfung


   " Sieh da; heute habe ich die Ehre mit dem großen Schweiger. Wissen Sie eigentlich, dass ich Angst vor Ihnen habe? "

  " Sie vor MIR? "

  " Ja. Nachher legen Sie als Kandidat MICH rein mit irgendwelchem Spezialwissen, von dem ich während meiner 20-jährigen Dienstzeit noch nie gehört habe ... "

  Topp - die Wette gilt. schon immer sagte ich: Meckert nicht; seid doch besser als ich.

   Uns Kindern hatte man ja auch immer gesagt

  " Lass dich nicht so ziehen. "

  Und gewiss sollte ein Matematiker nicht dem " Hund gleichen, den man zur Jagd tragen muss "


    ===> Elvis Presley  , " Hound Dog "

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    <<  Du kannst ja erst mal a=1 und b=1 nehmen und das c etwas variieren  .

   In dem ( hier ach so geschmähten ) Konkurrenzportal ===> Ly cos wurde ich ins kalte Wasser geschmissen. Gleich in den ersten Tagen kam so eine ähnliche Aufgabe; wann hat die Funktion



     f  (  x  ;  c  )  :=  x  2  +  x  +  c  +  1  /  x  =  0     (  2.1  )



   ein, zwei bzw. drei Nullstellen? 
   Ich war erst mal so perplex; meine erste Antwort war sogar falsch.

  " Du bist ja verrückt. "

   Bis in mir nach Monaten die Idee reifte, dieses c ist ein linearer Parameter. Fass doch einfach ( 2.1 ) auf als ===>   Nomogramm



     c  =  c  (  x  )  =  -  (  x  2  +  x  +  1  /  x  )      (  2.2  )


   
    Plotte den Grafen ( 2.2 ) raus. Dann lege das Lineal an die Markierung c der Ordinate; dann kannst du an dem Lineal direkt die Nullstelle(n) ablesen; das sind nämlich die Scnnittpunkte des Nomogramms mit dem Lineal.
   Mit einer stink normalen Kurvendiskussion ( KD ) verschaffst du dir einen Überblick sogar über die Asymptotik der Nullstellen. Bei einer gebrochen rationalen Funktion musst du immer von Rechts kommen. Asymptotisch hast du bei ( + °° ) eine nach Unten geöffnete Parabel.
   In der Umgebung der Singularität geht die Hyperbel in Führung; das Residuum ist negativ. Das ist genau der Punkt; von Rechts wenn du kommst, bleibt es unzweideutig. Die Kurve haut ab nach ( - °° ) ; wir erwarten ein Maximum . Dieses Maximum trennt quasi die beiden Regime " Parabel " und Hyperbel "
   An dem ( ungeraden )  Pol hast du einen Vorzeichenwechsel; wenn wir weiter unbeirrt von Rechts nach Links gehen, geht die Hyperbel in die Rechtskurve, die Parabel macht dann wieder links um - wir haben einen WP. Wichtig für uns sind jedoch alleine Extrtema; gibt es außerordentliche Überschwinger?



     c  '  (  x  )  =  1  /  x  ²  -  2  x  -  1  =  0  (  2.3a  )

     2  x  ³  +  x  ²  -  1  =  0   (  2.3b  )



   Tatsächlich sagt die CV das erwartete ( eindeutige ) Maximum > 0 voraus. Negativ hüllt sie sich in sibyllinisches Schweigen.
    Für ein kubistisches Polynom wie ( 2.3a ) stellt sich doch ganz typisch die Alternative: Entweder es ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln ( was sich hier leider als richtig heraus stellen wird ) Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ab. Schau mal, was Pappi alles weiß.


    https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen


   Der Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN ) damit ist aber x ( max ) unmittelbar als irrational entlarvt. Vgl. Wolfram


https://www.wolframalpha.com/input/?i=+2++x++%C2%B3++%2B++x++%C2%B2++-++1++


    Die Behauptung von Wiki, der SRN stamme von Gauß, stellt aber eine Fälschung dar wie die alten Rembrandtgemälde auch.

  1) Warum kennt dein Lehrer den SRN nicht?
   2) Wikis ältestes Zitat ist 2006 , das wahrscheinliche Entdeckungsjahr. Seriös wäre ===> v.d. Waerden ( 1930 )
   3) aus dem SRN ergibt sich ein trivialer kanonischer Irrationalitätsbeweis von Wurzel ( 2 ) Warum hat man noch nie davon gehört?
   4) Innerhalb einer Woche, nachdem mir der SRN bekannt wurde, gelangen mir gleich drei Entdeckungen zu dem Thema. Und weder Gauß noch die seit ihm verflossenen 200 Jahre sollten das zu Wege gebracht haben? Aber der erste zu sein seit 2006 - das alleine verleiht mir schon ein gewisses Format.

   Wolfram hat x ( max ) = .6573 ; kein Internetportal, erst recht kein Lehrer verlangt Polynomdivision ( PD ) durch Gleitkommagrößen. Wir wollen doch weiter nichts beweisen, als dass die beiden noch verbleibenden Wurzeln komplex sind. Mein Vorschlag: Vieta das geschmähte Stiefkind. Vorsicht; Vieta ist keine PD. Normalform ist Pflicht.


  
      x  ³  +  1/2  x  ²  -  1/2  =  0   (  2.3c  )
    
     a2  =  -  [  x  (  max  )  +  2  Re  (  z0  )  ]  =  1/2  ===>  Re  (  z0  )  =  (  -  .578  )    (  2.4a  )   ;  vgl. Wolfram

     a0  =  -  x  (  max  )  |  z0  |  ²  =  (  -  1/2  )  ===>  |  z0  |  =  .8722       (  2.4b  )




   Sei zunächst c < 0 dem Betrage nach sehr groß. Dann geht asymptotisch




    x1  ===>  (  -  °°  )    ;  x2  ===> (  +  0  )      ;   x3  ===>  (  +  °°  )     (  2.5  )



    Dann  im Grenzfall c = c ( max )  hast du eine doppelte Nullstelle  x2;3 = x ( max )  In ( 2.2 ) kannst du dich übrigens unmittelbar überzeugen, dass c ( max ) negativ sein muss.
  Oberhalb von c ( max ) überlebt nur noch x1 als einzige reelle Wurzel; für c ===> ( + °°  ) geht diese gegen ( - 0 )

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