Partielle Ableitung. Existenz in (0,0)? f(x) = cos(1/x) + y

Question

Hi,  existiert die partielle Ableitung f_x in (0,0) ? Weil cos(1/h) mit h gegen 0 ist ja eigentlich nicht definiert. Eventuell übersehe ich wieder was.

$$ f(x,y)\quad =\quad 0,\quad falls\quad (x,y)=(0,0)\\ f(x,y)\quad =\quad cos(\frac { 1 }{ x } )\quad +\quad y,\quad falls\quad (x,y)\neq (0,0)\quad \\ Mein\quad Vorschlag:\\ \lim _{ h->0 }{ \frac { f(h,0)\quad -\quad f(0,0) }{ h }  } \\ =\quad \lim _{ h->0 }{ \frac { 1 }{ h }  } cos(\frac { 1 }{ h } )\quad ,\quad also\quad existiert\quad nicht $$

Gruß und danke schon mal für die Hilfe :)

Comments

Deine Funktion ist nicht wohldefiniert. Wie ist denn z.B. \(f(0,1)\) definiert?

Answer 1

genau so ist es. Reduziert man das ganze kann man sich auch klar machen, dass es daran liegt, dass die Funktion

$$ f(x) = \begin{cases} 0,& x=0 \\ \cos(\frac{1}{x}) ,&  \text{sonst}\end{cases} $$

in \(x=0\) nicht stetig ist.

Gruß