Varianz des optimalen Portfolios berechnen

Question

Ein Investor stellt ein Portfolio aus drei Wertpapieren zusammen, von denen das erste festverzinslich ist mit einem Zinsatz von 5 Prozent. Die beiden anderen Wertpapiere haben Renditen mit den Erwartungswerten 0.08 und 0.11 und den Varianzen 0.08 und 0.1. Die Kovarianz der Renditen beträgt 0.007. Der Investor möchte ein Portfolio mit der Rendite 0.09 und minimaler Varianz erhalten.

Wie groß ist die Varianz des optimalen Portfolios (auf 4 Dezimalstellen gerundet)?

Answer 1

Zunächst gehe ich mal davon aus, dass der Gesamtbetrag in drei Teile x,y und z aufgeteilt wird, wobei x+y+z= 100% sein dürften.

Rentenpapier:         R(r)=0,05   V(r)=   0,00

Schlürf AG:                R(s)= 0,11 V(s)  0,10

Torus AG:                   R(t)= 0,8   V(t)=  0,08 

Bedingung I:

$$  x \cdot R(r)+y \cdot R(s)+ z \cdot R(t)= 0,09 $$

Bedingung II:

$$  x \cdot V(r)+y \cdot V(s)+ z \cdot V(t)= Minimum $$

... das mal als Gedankenanstößchen.

Comments

Naja soweit komme ich, aber leider stimmt mein Ergebnis nicht bzw. fehlt vielleicht was, aber leider komme ich nicht drauf was ich falsch mache! Bin um jede weitere Hilfe sehr dankbar!!

0.5w₁ + 0.08w₂ + 0.11w₃ = 0.09                                                                                                                             0.05(1-w₂-w₃) + 0.08w₂ + 0.11w₃ = 0.09                                                                                                             0.03w₂ + 0.06w₃ = 0.04
HB = 0.08w₂² + 0.1w₃² + 2 * 0.007w₂w₃   NB = 0.03w₂ + 0.06w₃ - 0.04
L = 0.08w₂² + 0.1w₃² + 2 * 0.007w₂w₃ - λ(0.03w₂ + 0.06w₃ - 0.04)
Δw₂ = 0.16w₂ + 0.014w₃ - λ0.03
Δw₃ = 0.2w₃ + 0.014w₂ - λ0.06

(0.16w₂ + 0.014w₃)/(0.2w₃ + 0.014w₂) = (0.03/0.06)
0.03 * (0.2w₃ + 0.014w₂)  = 0.06 * (0.16w₂ + 0.014w₃)                                                                                 0.00516w₃ = 0.00918w₂                                                                                                                                            w₃ = (0.00918/0.00516)w₂ 

→ 0.03w₂ + 0.06*(0.00918/0.00516)w₂ = 0.04                                                                                                             w₂ = 0.292517007   w₃ = 0.520408163

---

HB:$$min  = 0.08y^2 + 0.11z^2 + 2 \cdot 0.007y z$$
 NB: $$ 0 = 0.03 y + 0.06 z - 0.04 $$
zur Dekomatisierung das ganze Gerümpel mal tausend:
$$min  = 80y^2 + 110 z^2 + 14y z$$
 $$ 0 = 30 y + 60 z - 40 $$
$$\Lambda  = 80y^2 + 110 z^2 + 14y z+ \lambda \cdot( 30 y + 60 z - 40) $$
$$\frac{\partial \Lambda} {\partial y}= 160y +  14 z+ 30 \lambda  $$
$$\frac{\partial \Lambda} {\partial z}= 220z +  14 y+ 60 \lambda  $$
$$\frac{\partial \Lambda} {\partial \lambda}= 30 y + 60 z - 40  $$---
$$2 \cdot \frac{\partial \Lambda} {\partial y}-\frac{\partial \Lambda} {\partial z}= 320y +  28 z+ 60 \lambda - 220z -  14 y- 60 \lambda  $$
$$0= (320-14)y +  (28  - 220)z  $$
$$0= 306y -  192z  $$
$$0= 102y -  64z  $$
---
$$0= 30 y + 60 z - 40  $$
$$0= -102 y - 204 z + 136  $$
---
$$0= -268 z +136  $$
$$268 z =136  $$
$$ z =\frac{136}{268}  $$
$$ z =\frac{34}{67}  $$
vorbehaltlich irgendwelcher Rechenfehler und beachte, dass hier nur das Verhältnis der beiden Aktien zueinander ermittelt wird - der Rentenwert kommt noch dazu beim Gesamtergebnis.

Bis jetzt ist nur der geforderte Varianzwert erfüllt - die Rendite muss noch ertüftelt werden!