Vollständige Induktion, Summengleichheit zeigen.

Question

$$ \sum _{ k=1 }^{ 2n }{ { (-1) }^{ k-1 } } *\quad \frac { 1 }{ k } =\quad \sum _{ k=n+1 }^{ 2n }{ \frac { 1 }{ k }  }  $$

Hallo ihr lieben :) ,

diese vollständige Induktion war Klausuraufgabe und die habe ich nicht gelöst bekommen.

Jetzt versuch ich sie zu lösen, da ich befürchte dass sie in der Nachschreibeklausur auch dran kommt.

Der IA ist kein Problem, jedoch danach versteh ich es nicht wie man das angeht.

Kenne nur Induktionen über n und auch nicht sowas Summe = Summe.

:(

Ich bin dankbar für jede Mithilfe. ♥

Answer 1

Zu zeigen

∑((-1)^{k - 1}·1/k, k, 1, 2·n) = ∑(1/k, k, n + 1, 2·n)

Induktionsschritt n --> n + 1

∑((-1)^{k - 1}·1/k, k, 1, 2·(n + 1)) = ∑(1/k, k, (n + 1) + 1, 2·(n + 1))

∑((-1)^{k - 1}·1/k, k, 1, 2·n + 2) = ∑(1/k, k, n + 2, 2·n + 2)

∑((-1)^{k - 1}·1/k, k, 1, 2·n) + (-1)^{[2·n + 1] - 1}·1/(2·n + 1) + (-1)^{[2·n + 2] - 1}·1/(2·n + 2) = ∑(1/k, k, n + 1, 2·n) - 1/(n + 1) + 1/(2·n + 1) + 1/(2·n + 2)

(-1)^{[2·n + 1] - 1}·1/(2·n + 1) + (-1)^{[2·n + 2] - 1}·1/(2·n + 2) = - 1/(n + 1) + 1/(2·n + 1) + 1/(2·n + 2)

1/(2·n + 1) - 1/(2·n + 2) = - 1/(n + 1) + 1/(2·n + 1) + 1/(2·n + 2)

1/(2·n + 1) - 1/(2·n + 2) = - 2/(2·n + 2) + 1/(2·n + 1) + 1/(2·n + 2)

1/(2·n + 1) - 1/(2·n + 2) = 1/(2·n + 1) - 1/(2·n + 2)

wzbw.

Comments

vielen dank :) ich arbeite es nacher durch :)

Answer 2

Der Anfang geht so: $$\sum_{k=1}^{2(n+1)}(-1)^{k-1}\frac{1}{k}=\sum_{k=1}^{2n}(-1)^{k-1}\frac{1}{k}+(-1)^{2n}\frac{1}{2n+1}+(-1)^{2n+1}\frac{1}{2n+2}$$

Comments

soweit habe ich es durch eine ähnliche Aufgabe auch,

habe dann +1/(2n+1) - 1/(2n+2) da ja 2n immer gerade ist und daher es positiv ist und 2n+1 immer ungerade.

Aber was macht man dann?

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also vielleicht zur erklärung, ich habe auf s. 22 von 61  von dieser pdf http://www.emath.de/Referate/induktion-aufgaben-loesungen.pdf
eine sehr ähnliche Aufgabe gefunden, verstehe aber ab der zweiten Zeile nicht was man da macht.

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Ich kann aber leider die Vorgänge überhaupt nicht nachvollziehen :(

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"Aber was macht man dann? "

Dann investiert man die Induktionsannahme. Welchen Sinn soll das Abspalten der zwei letzten Summanden sonst haben?

Schreib halt mal selber auf, was man dann dastehen hat.

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IA verwenden also den einen Ausruck ersetzen mit:
$$ \sum _{ k=n+1 }^{ 2n }{ \frac { 1 }{ k }  } +\quad \frac { 1 }{ 2n+1 } -\frac { 1 }{ 2n+2 }  $$

wenn ich aber das andere Beispiel anschaue, würde ich meinen es fehlt was?
Wie geht man dann weiter vor?

Das Abspalten war mir auch nicht ganz so klar, im anderem forum hatte es mir erklärt mal mit wenn man zB (anschauliches beispiel) sagt n=6 dann wäre ja 2*6 =12, sagt man aber n=7  dann ist 2*7 und zwei Summanden sind dazu gekommen, daher braucht man die hier in der form von 1/2n+1 und 1/2n+2

Ich weiß nicht mit einer normalen Induktion komme ich klar aber so weiß ich gar nicht, was man da wie umformen kann.

Sorry und danke für deine Geduld :) wäre dir sehr sehr sehr dankbar wenn du mir weiter helfen könntest.

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Ganz prinzipiell musst Du den Ausdruck für n+1 so umschreiben, dass Du den für n darin wiederfindest. Bei der Summe da kommen ja immer zwei neue Summanden dazu, wenn man n um eins groesser macht, waerend die anderen sich nicht aendern. Da sollte es ja klar sein, wie das mit dem Wiederfinden geht.

Zur Aufgabe: Der Ausdruck, den Du aufgeschrieben hast, muss $${}=\sum_{k=n+2}^{2n+2}\frac{1}{k}$$ sein. Das weiss man ja schon, weil es aufzugehen hat. Du musst es jetzt bloss noch zeigen. Tipp: Schreibe den Summanden für \(k=n+1\) in Deiner Formel auch noch separat hin und verrechne ihn mit einem von den zweien, die schon separat stehen. Dann kommt das Gewuenschte raus.