HIlfe zu Zahlenfolge Problem

Question

ich würde mich für jede Formel und Verbesserungen bedanken.
1.)
Stellen Sie ein passendes Bildungsgesetz auf und setzen Sie den gegenbenen Folgenanfang um drei weiteren Glieder fort.
a) 1, 16, 81, 256,..
b) 1, 1/10, 1/100, 1/1000,...
c) 3, 5, 9, 17..
d) 1, 9, 17, 25,..
e) 3, 33, 333, 3333,..
f) 5, 10, 20, 40, ...

Mein Vorschlag:Ich weiß, dass:
Eine arthmetische Folge ist dadruch gekennzeichnet, dass die Differenz von 2 aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Es gilt:

Bei einer geometrischen Folge ist der Quotient aufeianderfolgender Glieder konstant
Es gilt:


Wie setzte ich denn ein um die richtige Formel zu bekommen...

Comments

Ich weiß leider nicht wie cih das mit den Formeln amchen soll, bedanke mich für jede Hilfe !

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Hi, man kann d) als arithmetische und b) und f) als geometrische Folgen auffassen und entsprechend fortsetzen.

Answer 1

Hi :)

ich würde erstmal für alle Folge, soweit es geht, die rekursive Bildungsvorschrift bilden. Ich nehme mal die Folge b) als Beispiel:

a_n = 1, 1/10, 1/100, 1/1000

Das rekursive Bildungsgesetz kennzeichnet sich dadurch aus, dass du das Folgeglied a_n durch das vorhergegangene Glied a_n-1 darstellst. Hier rechnest du ja immer •1/10, um das nächste Folgenglied zu erhalten. Wir hätten rekursiv also:

a_n = a_n-1 • 1/10; n = 0

Um das Ganze explizit darzustellen, müssen wir einfach die Folge nur durch Verwendung der Variable n darstellen. Ist manchmal echt schwer, aber hier ist es relativ einfach und die Lösung ist:

a_n = (1/10)^{n} = 1/(10^{n})

Probier's mal für den Rest selbst :)

Ich würde hier nicht unbedingt damit arbeiten, dass die Folge arithmetisch oder geometrisch ist...

Als Beispiel mal noch die letzte Folge.

Du siehst ja, dass man immer das Folgenglied, das davor steht, mal 2 nimmt, um a_n zu erhalten:

a_n = a_n-1 • 2; n = 0

Die explizite Bildungsvorschrift ist etwas schwieriger. Hier musst du wieder mit Pozenzen arbeiten. Wir haben als Startwert a1 = 5, wir sagen, du wolltest nun a3 ermitteln. Dann rechnest du

a₃ = 5•2•2 = 5•2^{2} = 20

Also haben wir explizit:

a_n = 5•2^{n}

Das ist Übung, bin auch frisch im Mathe LK und Folgen habe wir in einer Woche abgeschlossen, jetzt sind wir bei Funktionen und ihren Definitionslücken und dem Verhalten von Funktionen in der Umgebung dieser Stellen...selbst ich muss mich mal zu Hause hinsetzen und Mathe üben, das kannte ich vorher auch nicht. Das ist eben der leistungskurs, die Anforderungen sind hoch - gerade in Fächern wie Mathematik!

Lass' dich bloß nicht unterkriegen ud halte tapfer durch - bei Fragen kannst du dich gern jederzeit an mich wenden :))

LG ShD

Comments

Hi,

Spontan fällt mir noch folgendes auf/ein:

a) 1⁴, 2⁴, 3⁴, 4⁴ etc.

c) 2¹+1, 2²+1, 2³+1, 2⁴+1 etc.

d) 8*0+1, 8*1+1, 8*2+1, 8*3+1 etc.

e) 3, 10*3+3, 10*33+3, 10*333+3 etc.

[Du hast dich allerdings verschrieben: a₃ = 5•2•2 = 5•2² = 20 ... a_n = 5•2ⁿ ?]

Ich denke mit den Ansätzen kommt man schnell auf die rekursive bzw. explizite Form.

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a_n = a_n-1 • 1/10; n = 0

Um das Ganze explizit darzustellen, müssen wir einfach die Folge nur durch Verwendung der Variable n darstellen. Ist manchmal echt schwer, aber hier ist es relativ einfach und die Lösung ist:

a_n = (1/10)ⁿ = 1/(10ⁿ)

Hi, in deiner rekursiven Variante muss statt "n = 0" der
Startwert a₀ = 10 oder auch a₁ =10 angegeben werden.

Die Umformulierung von einer rekursiven Darstellung
in eine explizite "Ist manchmal echt schwer"
und oft gar nicht möglich.

In der expliziten Darstellung sollte der Definitionsbereich
von n – hier: \(n\in \mathbb{N}_0\) – angegeben werden.

Answer 2

Vermutlich sollt Ihr nur primitive arithm. & geometr. Folgen finden,

was http://www.gerdlamprecht.de/Mittelwerte.html mit Differenz- & Quotient-Anzeige schnell erledigt.

(also nur noch Faktor und Offset {y-Verschiebung anpassen} )

Beispiel f)

Sieht man sofort den konstanten Quotienten 2, was 2^n bedeutet. Da 2^0=1 und nicht 5 -> einfach Faktor 5 davor.

Ganz unten auf der Seite bekommt man auch gleich ein Polynom angezeigt, das durch die vorgegebenen Stützstellen verläuft. {5+x*25/6+pow(x,2)*0+pow(x,3)*5/6 = (x*x-x+6)*(x+1)*5/6  ist also ein weiteres gültiges Bildungsgesetz}

Ohne Randbedingung gibt es jedoch unendlich viele Möglichkeiten (Bildungsgesetzte = Algorithmen)

wie es der Iterationsrechner zeigt:

http://www.gerdlamprecht.de/Roemisch_JAVA.htm#1+x*10-@Px,2)*5+@Px,3)*10@Na=1;@N@Bi]=Fx(i);@Ci]=@Pi+1,4);aD[i]=(i*i-i+6)*(i+1)*5/6;@Ni%3E9@N0@N0@N#

Für mich sind Folgen erst dann interessant, wenn sie weder, arithm., geom. noch Polynom sind.

Wenn Dich weitere mögliche Lösungen interessieren, melde Dich einfach :-)