mach mal erst aus sin(2x) = 2 sin(x)cos(x) (Kann man über Additionstheorem herleiten)
$$ \int_{}^{} \frac { 2 sin(x)cos(x)}{ 2+sin^2(x) } dx $$
Dann siehst du, dass die Ableitung des Nenners genau den Zähler ergibt.
Das ist immer gut für Substitution u = 2+sin^2(x)
dann ist du/dx = 2sin(x)*cos(x) , also wird aus dem Integral
also dx = du / (2sin(x)*cos(x))
$$= \int_{}^{} \frac { 2 sin(x)cos(x)}{ u }*\frac { du }{ 2 sin(x)cos(x) }$$
und dann kürzen gibt
$$= \int_{}^{}\frac { du }{ u } = = ln(|u|)+C$$
und weil u ja von Natur aus positiv ist, ist das
$$= ln(2+sin^2(x))+C$$
