Polynomring B = {0,1} mit Antivalenz als Addition und Konjunktion als Multiplikation (d.h. '+' und '*' modulo 2)

Question

Wir betrachten den Ring B = {0,1} mit der Antivalenz als Addition und der Konjunktion als Multiplikation (mit anderen Worten Addition und Multiplikation modulo 2 ) . Die Ausdrücke p₁(x) = x⁴+x²+1 und p₂(x) = x²+x+1 und p₃(x)=x³+x sind offensichtlich Polynome aus B [x].

a) Bestimmen Sie die Polynome q(x) = p₁(x)+p₂(x), r(x) = p₁(x) . p₂(x) und s (x) = p₂(x) . p₃(x)

b) Zwei der drei Polynome q (x), r(x), s(x) beschreiben die gleiche Polynomfunktion. Weolche sind es und welche Funktion bescheiben sie?

c) Es gibt nur vier verschiedene Funktionen von B nach B. finden sie für jede Funktion ein möglichst einfaches Polynom.

 

Ich bitte sie diese Funktionen zu loesen und erklaeren wie sie es gemacht haben.

Answer 1

Addition: Wir addieren zwei mod-2-Polynome, indem wir ganz normal rechnen, als ob x eine Unbekannte wäre, und Terme mit derselben Potenz von x zusammenfassen. Dabei werden die Faktoren bei derselben Potenz von x addiert – modulo 2 naturlich. 

Multiplikation: Bei der Multiplikation zweier Polynome (modulo 2) multipliziert man aus und fasst dann Terme mit derselben x-Potenz zusammen.

Da wir die Operationen modulo 2 betrachten gilt es dass $$2\cdot a \equiv 0 \pmod 2$$ 
Wir haben folgendes: $$q(x)=p_1(x)+p_2(x)=(x^4+x^2+1)+(x^2+x+1)=x^4+2x^2+x+2=x^4+x$$
$$r(x)=p_1(x)\cdot p_2(x)=(x^4+x^2+1)\cdot (x^2+x+1)=x^6+x^5+x^4+x^4+x^3+x^2+x^2+x+1=x^6+x^5+2x^4+x^3+2x^2+x+1=x^6+x^5+x^3+x+1$$
$$s(x)=p_2(x)\cdot p_3(x)=(x^2+x+1)\cdot (x^3+x)=x^5+x^3+x^4+x^2+x^3+x \\ =x^5+2x^3+x^4+x^2+x=x^5+x^4+x^2+x$$ 
da wir die Addition und Multiplikation modulo 2 betrachten