Induktion Summenformel für arithmetische Reihe (Beweis)

Question

 

hallo brauche Hilfe bei dem Thema vollständige Induktion

alle anderen  aufgaben habe ich gemacht

ich habe das Thema zwar kapiert, aber bei diesen aufgaben komme ich irgendwie nicht weiter

Den Induktionsanfang habe ich selber hinbekommen jedoch habe ich Probleme beim Induktionsbeweis

also für n  (n+1) einsetzen und danach die Herleitung kann ich nicht

Dankeschön im Voraus

EDIT (Lu) Betrifft gemäss Kommentar b) und c)

\( 5+8+11+14+\dots+(5+3 \cdot n)=5(n+1)+3 \cdot \frac{n\cdot (n+1)}{2} \)

c) Die allgemeine arithmetische Reihe:
\( a+(a+k)+(a+2 k)+(a+3 k)+\dots+(a+n k)=a(n+1)+k \frac{n \cdot(n+1)}{2} \)

d) DIe allgemeine geometrische Reihe:
\( \mathrm{a}+\mathrm{ax}+\mathrm{ax}^{2}+\mathrm{ax}^{3}+\ldots+\mathrm{ax}^{n}=\mathrm{a} \cdot \frac{1-\mathrm{x}^{n+1}}{1-\mathrm{x}} \)

Comments

Meinst du die c) also die allgemeine arithmetische Reihe?

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Der Die b und Die c  der Buchstabe b ist da nicht abgebildet

Answer 1

Ich zeige den Induktionsschritt für Aufgabe c).

Nach Induktionsvoraussetzung gilt:

$$ \sum _{ i=0 }^{ n }{ \left( a+i\cdot k \right)  } =a\cdot \left( n+1 \right) +k\cdot \frac { n\cdot \left( n+1 \right)  }{ 2 } $$

Maßnahme:

$$ \qquad +\left( a+\left( n+1 \right) \cdot k \right) $$

$$ \sum _{ i=0 }^{ n+1 }{ \left( a+i\cdot k \right)  } =a\cdot \left( n+1 \right) +k\cdot \frac { n\cdot \left( n+1 \right)  }{ 2 } +a+\left( n+1 \right) \cdot k $$

$$ \sum _{ i=0 }^{ n+1 }{ \left( a+i\cdot k \right)  } =a\cdot \left( n+2 \right) +k\cdot \left( n+1 \right) \cdot \left( \frac { n }{ 2 } +1 \right) $$

$$ \sum _{ i=0 }^{ n+1 }{ \left( a+i\cdot k \right)  } =a\cdot \left( n+2 \right) +k\cdot \left( n+1 \right) \cdot \frac { n+2 }{ 2 } $$

$$ \sum _{ i=0 }^{ n+1 }{ \left( a+i\cdot k \right)  } =a\cdot \left( \left( n+1 \right) +1 \right) +k\cdot \frac { \left( n+1 \right) \cdot \left( \left( n+1 \right) +1 \right)  }{ 2 } $$

w.z.b.w.

Aufgabe b) läßt sich analog beweisen, indem man a = 5 und k = 3 setzt.

Comments

Wie kommst du bei dem dritten Schritt uf die n/2 +1Und Warum Hast du davor beim ausklammern von k mal gemacht davor war ja ein Pluszeichen

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Bei der Summe

$$ k\cdot \frac { n\cdot \left( n+1 \right)  }{ 2 } +\left( n+1 \right) \cdot k $$

klammere ich

$$ k\cdot \left( n+1 \right) $$

aus. Der linke Summand wird zu

$$ \frac { k\cdot \frac { n\cdot \left( n+1 \right)  }{ 2 }  }{ k\cdot \left( n+1 \right)  } =\frac { n }{ 2 } $$

und der rechte Summand wird zu

$$ \frac { \left( n+1 \right) \cdot k }{ k\cdot \left( n+1 \right)  } =1 $$

So dass gilt:

$$ k\cdot \frac { n\cdot \left( n+1 \right)  }{ 2 } +\left( n+1 \right) \cdot k=k\cdot \left( n+1 \right) \cdot \left( \frac { n }{ 2 } +1 \right) $$

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D.h.

$$ \frac { n }{ 2 } +1=\frac { k\cdot \frac { n\cdot \left( n+1 \right)  }{ 2 } +\left( n+1 \right) \cdot k }{ k\cdot \left( n+1 \right) } $$

Answer 2

$$ \sum_{k=0}^n (5+3k)+(5+3(n+1))= \sum_{k=0}^{n+1} (5+3k)$$ ist vermutlich zu beweisen nehme ich an ...

... da setze doch mal die Summenformeln ein - die sind ja gegeben.

Zeige mal, wie Du umformst und dann finden wir den Stein des Anstoßes.

Comments

Diese Formel ergibt sich direkt aus der Summenkonvention. Sie reicht aber für den Induktionsbeweis nicht aus.