Beweisverfahren mit Induktion: Behauptung 2+4+6+......+2n = n(n+1)

Question

Beweisen Sie die folgenden Aussagen mit Hilfe des Beweisverfahrens der vollständigen Induktion.

2+4+6+......+2n=2⋅1+2⋅2+2⋅3.....+2(n−1)+2n= Summe der ersten n geraden zahlen von 2 bis 2n beträgt n(n+1)

Answer 1

2+4+6+......+2n = n(n+1)

Verankerung: n=1

2 = 1*(1+1) ok.

Induktionsschritt n----> n+1

Ind.voraussetzng: 2+4+6+......+2n = n(n+1)

Ind.behauptung: 2+4+6+......+2n + 2(n+1) = (n+1)((n+1)+1) = (n+1)(n+2)     ?

Bew. 2+4+6+......+2n + 2(n+1) = (2+4+6+......+2n) + 2(n+1)

                  |  Ind.vor

= n(n+1) + 2(n+1)         |(n+1) ausklammern

= (n+2)(n+1)   = (n+1)(n+2) qed.

Answer 2

Hi,

 

Induktionsanfang:

A(n): 2+4+6+...+2n=n(n+1) für

n=1:

2=1(1+1)=2

n=2:

2+4=2(2+1)=6

Passt also soweit.

 

Induktionsschritt:

Induktionsannahme A(n) ist wahr, so ist auch A(n+1) wahr.

2+4+6+...+2n+2(n+1)=n(n+1)+2(n+1)=(n+1)(n+2)

Und das ist genau das, was es auch sein soll.

Induktionsschluss: In der Tat - auch A(n+1) ist wahr.