Aufgaben zur Rekonstruktion bzw. Steckbriefaufgaben

Question

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Punkt P (0;4) einen Wendepunkt hat und an der Stelle x=6 die x-Achse berührt.

Comments

Irgendeinen Ansatz vielleicht?

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1:

f(x)= x^3 + bx^2 + cx + d

f'(x)= 3x^2 + 2bx + c

f''(x)= 6x + 2b

2:

-Wendepukt bei (0;4)

-Berührung mit x-Achse bei x=6

3: Umsetzung der Eigenschaften in Gleichung

(hier komm ich jetzt nicht mehr weiter..)

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eig setzt man ja den Wendepunkt in f(x) ein

da mein x-Wert aber 0 ist verwirrt mich das etwas

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Hi, dein Ansatz stimmt nicht. Er müsste mit \(f(x)=a\cdot x^3+\dots\) beginnen.

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Die beiden Bedingungen, die mit dem Wendepunkt zusammenhängen, lauten:
\(f(0)=4\) und \(f''(0)=0\). Viele Nullen im Funktionsargument vereinfachen die Rechnung, daher machen das die Aufgabensteller gerne.

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also bedeutet dies im Endeffekt dass d=4 ist!?

und jetzt hab ich noch eine andere frage: wenn ich x=6 in f(x) einsetzte, dann krieg ich 216a + 36b + 6c + d raus

und ich frage mich jetzt was ich machen muss um die variablen a,b,c und d rauszubekommen ..

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also bedeutet dies im Endeffekt dass d=4 ist!?

Ja, und wegen \(f''(0)=0\) folgt auch noch \(b=0\). Beides kannst Du sofort in die beiden anderen Bedingungen einarbeiten.

Answer 1

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Punkt P (0;4) einen Wendepunkt hat und an der Stelle x=6 die x-Achse berührt. 

f(0) = 4 --> d = 4

f''(0) = 0 --> 2·b = 0

f(6) = 0 --> 216·a + 36·b + 6·c + d = 0

f'(6) = 0 --> 108·a + 12·b + c = 0

Löse das LGS und erhalte: a = 1/108 ∧ b = 0 ∧ c = -1 ∧ d = 4

Kontrolliere die Lösung!

Comments

könntest du mir bitte nochmal erklären, wie du jetzt genau a,b,c und d rausbekommen hast?

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Nach der ersten und 2 Gleichung kannst du schon d = 4 und b = 0 einsetzen

216·a + 36·0 + 6·c + 4 = 0 --> 216·a + 6·c = -4

108·a + 12·0 + c = 0 --> 108·a + c = 0

Eventuell jetzt 6*II - I

432·a = 4 --> a = 1/108

108·(1/108) + c = 0 --> c = -1

Damit hat man dann schon alle 4 Variablen gefunden.

Answer 2

Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades, die im Punkt P \((0|4)\) einen Wendepunkt hat und an der Stelle \(x=\red{6}\) die x-Achse berührt.

Wendepunkt bei P \((0|4)\) bedeutet, dass das 2 Extremum bei H\((-6|8)\) liegt.

Stelle \(x=6\) die x-Achse berührt: Da ist ein lokales Minimum mit doppelter Nullstelle.

Eine einfache Nullstelle liegt wegen der Punktsymmetrie bei \(x=-12\)

\(f(x)=a(x-\red{6})^2(x+12)\)

P \((0|4)\):

\(f(0)=a(0-6)^2(0+12)=36\cdot 12a=4\)

\(9\cdot 12a=1\)

\(a=\frac{1}{108}\)

\(f(x)=\frac{1}{108}(x-6)^2(x+12)\)