Existenz einer endlichen Teilüberdeckung - Richtige Schlussfolgerung?

Question

Aufgabe: Entscheiden Sie ob die folgende Menge X eine offene Überdeckung besitzt, die keine endliche Teilüberdeckung zulässt. X = (0,1)

Meine Frage:

Wenn jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung besitzt, so ist meine Menge ja kompakt.

Ist es jetzt richtig so  zu schlussfolgern? : 

Wenn meine hier gegebene Menge X nicht  abgeschlossen ist (sie ist ja offen) so ist sie nicht Kompakt.

(kompakt => abgeschlossen und beschränkt) (nicht abgeschlossen => nicht kompakt) (???)

Da sie nicht kompakt ist existiert zu jeder offenen Überdeckung keine endliche Teilüberdeckung und damit ist die Antwort auf die obige Frage mit Ja zu beantworten.

???

Schonmal viele Dank für eure Hilfe! :)

Answer 1

Die Argumentation ist soweit richtig, aber

Wenn meine hier gegebene Menge X nicht  abgeschlossen ist (sie ist ja offen) so ist sie nicht Kompakt.

Das rote ist das falsche Argument, das Gegenteil von abgeschlossen ist nicht offen, 

sondern R \ X ist nicht offen. Was aber in diesem Fall auch gilt.

Aber zum Beispiel ist die leere Menge in der kanonischen

Topologie von IR sowohl offen als auch abgeschlossen. 

Comments

\(\mathbb R\) ist zusammenhängend, also sind \(\emptyset\) und \(\mathbb R\) die einzigen Teilmengen, die offen und abgeschlossen sind.

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Stimmt, diese Feinheit habe ich sonst immer übersehen, jetzt ist es mir klar.  Viele Dank für die Antwort! :)

Answer 2

"Da sie nicht kompakt ist existiert zu jeder offenen Überdeckung keine endliche Teilüberdeckung"

Das stimmt nicht. Kompaktheit bedeutet: Jede offene Überdeckung hat eine endliche Teilüberdeckung.
Die Negation davon lautet: Es gibt eine offene Überdeckung, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt.

Dass deine Aussage falsch sein muss, sieht man schon durch ein einfaches Beispiel: \((0,1)\) ist eine offene Menge und überdeckt \(X\). Diese Überdeckung hat natürlich eine endliche Teilüberdeckung (weil sie selbst endlich ist).

Comments

Oh du hast recht da ist mir bei der Negation ein Fehler unterlaufen. Aber an der Gesamtaussage ändert sich doch dadurch nichts oder?!

Also würde die Argumentation richtig lauten:

Da die gegebene Menge X nicht abgeschlossen ist (R ohne X ist nicht offen), folgt das die Menge X nicht kompakt ist. Da die Menge nicht kompakt ist, gibt es eine offene Überdeckung, die keine endliche Teilüberdeckung besitzt. Somit lautet die Antwort auf die Ausgangsfrage: Ja.  :)

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Stimmt so. Du kannst natürlich als Begründung auch einfach eine solche Überdeckung angeben. ;-)
Fällt dir da eine ein?

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Hmm jetzt hast du mich erwischt :D das fällt mir immer noch sehr schwer :( , deswegen habe ich probiert die Argumentation so allgemein zu benutzen ;)

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Das ist ja auch erstmal kein Problem. Aber irgendwann wirst du vielleicht mal eine solche Überdeckung brauchen, und dann ist es hilfreich, wenn man weiß, wie so etwas aussieht.
Überleg mal noch ein bisschen, vielleicht fällt dir ja noch was ein. Wenn nicht, kannst du ja nochmal nachfragen. :-)

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Also ich habe mir mal folgendes Überlegt. (Erst aber schonmal vielen Dank für deine Geduld und Hilfsbereitschaft! :))
Ich dachte mir das ich erstmal eine offene Überdeckung nehme, z.B.:Die Vereinigung aller (1/(n+1) , 1/n) von n=1 bis unendlich.Dann habe ich ja eine Überdeckung die das Intervall (0,1] umfasst.Wenn ich jetzt daraus eine Teilüberdeckung wähle, so ist diese ja nicht endlich, da sie durch die Vereinigung aller n>1 gegen 0 konvergiert. Wenn ich jetzt eine Teilüberdeckung wählen würde so wäre das z.B. (1/(n+2) , 1/n) ?!
Sorry für die komplizierte Ausdrucksweise, probiere mal meinen Gedankengang aufzuschreiben. Ist das so ungefähr richtig ?

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In dieser Überdeckung liegen aber die Elemente \(\frac{1}{n}\) nicht drin.
Aber so in etwa ist der Ansatz mit den immer kleiner werdenden offenen Intervallen schon richtig.

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Wieso liegt denn 1/n nicht drin? Die werden doch alle vereinigt also 1/1=1 dann 1/2 1/3 etc. ...?

oh jetzt ist mir was aufgefallen, meinst du vielleicht das:

Meine Vereinigungen würden ja lauten: (1/2 , 1) U (1/3 , 1/2) U (1/3 , 1/4) etc.

Unit jetzt würde aber z.B. 1/2 , 1/3 etc. nicht in der Überdeckung drin liegen ?!

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Dann sag mir doch mal, in welchem von diesen Intervallen \(\frac 1 2\) enthalten sein soll.

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Ja genau gerade ist es mir auch aufgefallen, siehe oben :D ;)

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Genau das meinte ich. :-)

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Gut wie wäre es denn wenn ich als Überdeckung folgendes nehme: Die Vereinigung aller ( 1/(n+2) , 1/n ) von n=1 bis unendlich. Dann hätte ich ja die Vereinigungen: (1/3 , 1) U (1/4 , 1/2) U (1/5 , 1/3) etc.  Jetzt würden ja auch alle 1/n in meiner Überdeckung liegen oder?! :)

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Ja, genau das hatte ich mir auch als Beispiel überlegt.

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Super, danke !!! :)

Aber dann existiert doch gar keine Teilüberdeckung oder?

Weil z.B. die Vereinigung aller (1/(n+1) , 1/n) von n=1 bis unendlich würde ja die 1/n nicht überdecken und z.B. die Vereinigung aller (1/(n+3) , 1/n) von n=1 bis unendlich wäre doch wieder gleich der vorherigen Überdeckung oder mache ich jetzt einen Denkfehler?

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Teilüberdeckung bedeutet: Du kannst offene Mengen aus der Überdeckung weglassen, und trotzdem ist \(X\) immer noch in der Vereinigung der übrigen Mengen enthalten. Hier kannst du aber keines der Intervalle weglassen. Das hat aber nichts damit zu tun, was du geschrieben hast.

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Ach stimmt ja :D Super dann hab ich ja mit etwas Hilfe doch noch geschafft ein Beispiel zu finden :)

Dankeschön :)

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Gerne. :-)

Übrigens: Bei der Überdeckung \(\bigcup\limits_{n=1}^\infty (\frac{1}{n+3},\frac 1 n)\), die du gerade genannt hast, ist es möglich, Intervalle wegzulassen (z.B. \((\frac 1 5,\frac 1 2)\)). Eine endliche Teilüberdeckung wirst du aber trotzdem nicht finden.

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Ja genau, das hatte ich mir eben auch überlegt und noch etwas irritiert. Aber dann ist ja jetzt alles klar :)