Funktionsgleichung mithilfe eines abgebildeten Graphen bestimmen

Question

Bestimmen Sie zu den abgebildeten Graphen jeweils eine mögliche Funktionsgleichung.

a) hab ich verstanden.

b) T1 (-2|-4) T2 (2|-4) Graph hat einen Hochpunkt bei (0|0) ist also wahrscheinlich eine Funktion vierten Grades (?)

Ich habe gerade keine möglichkeit ein Foto zumachen deswegen anders: Graph sieht aus wie die 2 Beine/Arme  eines Seesterns. ( Hoffe das genügt zur Veranschaulichung ^^ )

c) W1(-2|20) W2 (2|20) Graph hat Tiefpunkt bei (0|0)

Graph sieht umgekehrt wie in der b) aus. ( Also wie 2 Seesternbeine/arme nur umgedreht )

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b) T1 (-2|-4) T2 (2|-4) Graph hat einen Hochpunkt bei (0|0) ist also wahrscheinlich eine Funktion vierten Grades (?)

Ich habe gerade keine möglichkeit ein Foto zumachen deswegen anders: Graph sieht aus wie die 2 Beine/Arme  eines Seesterns. ( Hoffe das genügt zur Veranschaulichung ^^ )

Mein Ansatz wäre:

f '(x) = a(x-2)(x+2)x = a(x^2 - 4)x = ax^3 - 4ax

Nun Stammfunktion bestimmen. + C nicht vergessen und dann 2 Punkte einsetzen.

==> C = 0 und a folgt dann relativ schnell.

Answer 1

b) T1 (-2|-4) T2 (2|-4) Graph hat einen Hochpunkt bei (0|0) ist also wahrscheinlich eine Funktion vierten Grades (?)

Ja. Symmetrische Funktion 4. Grades

f(x) = ax^4 + bx^2 + c

f(0) = 0 --> c = 0

f(2) = -4 --> 16a + 4b = -4

f'(2) = 0 --> 32a + 4b = 0

Wir lösen das LGS und erhalten: a = 1/4 ∧ b = -2

f(x) = 1/4*x^4 - 2x^2

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c) W1(-2|20) W2 (2|20) Graph hat Tiefpunkt bei (0|0) Graph sieht umgekehrt wie in der b) aus.

Also vermutlich auch symmetrische Funktion 4. Grades

f(x) = ax⁴ + bx² + c

f(0) = 0 --> c = 0

f(2) = 20 --> 16·a + 4·b = 20

f''(2) = 0 --> 48·a + 2·b = 0

Wir lösen das LGS und erhalten: a = - 1/4 ∧ b = 6

f(x) = -1/4*x⁴ + 6x²

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b) T1 (-2|-4) T2 (2|-4) Graph hat einen Hochpunkt bei (0|0) ist also wahrscheinlich eine Funktion vierten Grades (?)

Wenn man etwas gewitzt ist kann man auch folgenden Ansatz nehmen

f(x) = a·(x - 2)^2·(x + 2)^2 - 4

f(0) = 0 --> a·(0 - 2)^2·(0 + 2)^2 - 4 = 0 --> a = 1/4

also

f(x) = 1/4·(x - 2)^2·(x + 2)^2 - 4

Dieses wäre wohl mit der eleganteste Weg ohne viel Rechenkram. Aber da solche Aufgaben eh nicht dazu da sind damit ihr aufs Ergebnis kommt sondern dazu da sind allgemeine Herangehensweisen zu trainieren wäre hier wohl der aufwendigere Weg vorzuziehen. Trotzdem kann man als fleißiger Schüler auch mal über alternative Lösungsmöglichkeiten nachdenken.