Grundperiode , Extremstellen f(x)=e^{-|sin(x/4)cos(x/4)|} xeR

Question

Kann mir bitte jemand den Lösungsweg der  Aufgaben a) und b) folgender Funktion zeigen?

$$f(x)=\quad { e }^{ -|\sin { (\frac { x }{ 4 } ) } \cos { (\frac { x }{ 4 } ) } |\quad  }\quad x\in R$$

a) Ist f periodisch? Wenn ja ermitteln Sie die Grundperiode.

b) Berechne sie für welche x die Funktion ihre Maximal- bzw. Minimalwerte annimmt.

Answer 1

Hallo Ckay,

a) Ja die Funktion ist periodisch. Verwende

$$ 2\sin(x) \cos(x) = \sin(2x) $$

und zeige unter der Berücksichtigung des Betrages, dass \(f(x)\) die Periode \(t = 2\pi\) besitzt.

b) Die Maxima befinden sich bei \(x_{Max,k} = (2k+1)\pi\) und die Minima bei \( x_{Min,k} = 2k \pi \), wobei \( k \in \mathbb{Z} \). Hier kannst du zum Beispiel mit der Ableitung vorgehen dafür musst du dir aber 3 Sachen klar machen:

1. Wähle ein geeignetes Intervall, dass die Länge der Periode hat, so dass die Betragsstriche keine Rolle mehr spielen.

2. Das Maximum auf diesem Intervall kriegst du auf gewohntem Wege, für das Minimum musst du den Randwert betrachten (warum??)

3. Verwende die Periodizität um auf alle Maxima und Minima zu schließen.

Gruß

Comments

Wie bist du auf 2sin(x)cos(x) = sin(2x)   gekommen?

Warum soll ich diese Gleichung verwenden?

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Das ist ein sehr verbreiteter trigonometrischer Zusammenhang.

Damit du die Periode leichter bestimmen kannst...

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Muss ich jetzt die Additiontheoreme benutzen?

Ich weiß nur leider nicht wie ich Sie aufschreibe.

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Mit der Formel solltest du auf:
$$ \sin \left(\frac{x}{4}\right) \cos \left(\frac{x}{4} \right) = \frac{1}{2} \sin\left(\frac{x}{2}\right) $$kommen.