Ungleichung: Wie kommt man von (x-1)(x-5)>0 zu x<1 oder x>5?

Question

ich komme direkt zur Frage. Im Grunde geht es in der Aufgabe über Monotonieverhalten von Funktionen, welche ich soweit auch verstanden habe.

Mir ist nur ein Schritt mit einer Ungleichung nicht klar;

(x-1)(x-5)>0 daraus folgt laut der Lösung x<1 oder x>5

mir ist vollkommen klar dass diese beiden Werte die Ungleichung erfüllen, jedoch ist mir schleierhaft wie ich daran komme.

Wenn ich durch (x-5) teile habe ich x-1>0 ---> x>1, und das ist ja schon verkehrt...

Answer 1

f(x) = (x - 1)·(x - 5)

ist die Nullstellenform einer nach oben geöffneten Parabel. Die Nullstellen sind bei +1 und +5. Weil die Parabel nach oben geöffnet ist verläuft die Parabel zwischen +1 und +5 unterhalb der x-Achse und für x < 1 und x > 5 oberhalb der x-Achse.

Comments

Vielen Dank mal erst für Deine Antwort.

Mir ist das durchaus klar, auf die anschauliche Art. Ich frage mich nur ob es dazu auch einen rechnerischen Weg, sprich das klassische Lösen dieser Ungleichung gibt.

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Natürlich.

(x - 1)·(x - 5) > 0

ein Produkt ist > 0 wenn beide Faktoren > 0 sind oder wenn beide Faktoren < 0 sind. Das kannst du jetzt recht schnell lösen.

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Ach, verflucht...

Klassischer Fall von "Wald vor lauter Bäumen nicht sehen".

Ich danke Dir!

Answer 2

Ein Produkt ist genau dann positiv, wenn entweder beide Faktoren positiv oder beide Faktoren negativ sind.