Wofür steht das +1 in der Teileranzahlfunktion einer Zahl?

Question

Wer kann mir eine gute Erklärung geben, warum man immer bei der Teileranzahlfunktion

τ(n) = (k₁+1) (k₂+1)* ... * (k_s+1) mit 1 addiert?

Also mir ist nicht klar, wie man das gut begründen kann... Brauche das für meine mündliche Prüfung.

Answer 1

Die Zahlen k1,  k2  k3  etc sind ja wohl die Exponenten von den Primfaktoren.

Wenn du etwa  n = 2^3 * 5^2 hast. Dann kannst du systematisch alle Teiler erzeugen, wenn

du etwa beginnst mit 2^0 * 5^0 = 1

2^0 * 5^1 = 5

2^0 * 5^2 = 25

Dann hast du alle mit : Exponent bei 2 ist 0 und bei 5 alle Exponenenten durch von 0 bis 2

Das gleiche mit

2^1   ....

und mit 2^2    und dann

2^3 etc .

Das +1 kommt also letztlich daher, dass man den Fall "hoch 0 " mit berachten muss.

Answer 2

Du möchtest wissen wie viele Teiler

5 * 3^2 * 2^3 = 360

hat.

Zum Vergleich schreibst du dir mal die Teiler auf

T360 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360}

Ein Teiler kann also maximal die obigen 3 Primfaktoren in den genannten Potenzen haben.

Die 5 kann dabei auftreten aber auch nicht.(2 Möglichkeiten)

Die 3 kann dabei nicht oder als 3 oder als 3^2 auftreten. (3 Möglichkeiten)

Die 2 kann dabei nicht oder als 2 oder als 2^2 oder als 3^2 auftreten. (4 Möglichkeiten)

Ein Primfaktor kann also auch in der 0. Potenz (1) auftreten. Daher gibt es immer eine Möglichkeit mehr als der Exponent angibt.

Man kommt daher bei 360 auf 2 * 3 * 4 = 24 Teiler. Stimmt das mit der obigen Teilermenge überein?