Extremstelle und Wendepunkt bei der Funktion f(x) = x³ - 3x

Question

Aufgabe:

Was ist bei der Funktion die Extremstelle und der Wendepunkt?

f(x) = x³ - 3x

Hinweis: -2≤ x ≤ 2

Answer 1

Das soll wohl der Definitionsbereich -2≤ x ≤ 2 sein.

also  f(x) = x³  - 3x - 2     

(Inzwischen wurde klargestellt, das die Funktion f(x) = x³ - 3x gemeint ist, vgl. Kommentare) 

f '(x) = 3x² - 3

f ''(x) = 6x

f '''(x) = 6

f ' (x) = 0 ergibt mögliche Extremstellen

Einsetzen in f ''(x)  ergibt

H(-1|0)  für  f '' (x) < 0 und T(1|4)  für  f '' (x) > 0

f '' (x) = 0 -> W(0|-2) , da f '''(0) ≠ 0

Nachtrag:  außerdem ergeben sich die Randextrema  Max(2|0)  und Min(-2|-4) 

Gruß Wolfgang

Comments

Danke, aber ich verstehe nicht, wie du auf die Werte bei H, T und W kommst. Ich weiß zwar, dass, wenn f'''(x) ungleich 0 ist ein Wendepunkt da ist, genauso wie bei H und T die Bedingung dafür, aber ich verstehe nicht, wie du auf die Werte kommst.

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Ok, also dadurch dass f'(x) = 0 ergibt, gibt es Extremstellen (soweit ist es mir klar). Damit aber f'(x) = 0 ergibt kann die einzige Lösung ja nur die 1 für x sein, da 3 x 1² 3 ergibt und 3-3 = 0. Da hätte ich also H = 1 raus. Woher kommt aber dann -1/0. Und den Tiefpunkt verstehe ich hier gar nicht. Und beim Wendepunkt ergibt f'''(x) ungleich 0, weil ja 6 größer als 0 ist. (soweit mir hier auch klar) So, und um diese Zahl auf f''(x) = 0 zu bringen, kann man für x nur die 0 eintragen, da 6 x 0 = 0 ergibt. Damit wäre die erste 0 geklärt, aber woher dann 0/-2?

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aber woher dann 0/-2?

Das liegt daran, dass die Antwort, die du gerade als beste Antwort ausgewäht hast, schlicht falsch ist. Aber da du ja keine Rückfragen zu beantworten scheinst, ist mir das eigentlich auch egal!

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Wieso? Tue ich doch! Ich hab, soweit ich die Aufgabe verstanden hab, nochmals im Kommentar wiedergegeben, und ich dachte, ich sollte noch die Antwort als beste Antwort angeben.

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Dann bestätige doch mal, ob dies die Funktion ist:
$$ f(x)=x^3-3x \quad\text{und}\quad -2\le  x\le 2. $$

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Ja, die Funktion, die du angegeben hast, ist richtig. So steht sie bei mir im Buch

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Ok, dann ist also
$$ f(x)=x^3-3x \quad\text{und}\quad -2\le  x\le 2. $$ gegeben. Diese ganzrationale Funktion dritten Grades ist symmetrisch zum Ursprung, weswegen der Ursprung auch ihr einziger Wendepunkt ist. Die beiden Nullstellen der ersten Ableitung sind zwei innere Extremstellen, dazu kommen noch die beiden Randextremstellen. Über den Kurvenverlauf lässt sich ihre Art bestimmen und wir bekommen:

\((-2|-2)\) als Tiefpunkt am linken Rand,
\((-1|+2)\) als inneren Hochpunkt,
\((0|0)\) als Wendepunkt,
\((+1|-2)\) als inneren Tiefpunkt und
\((+2|+2)\) als Hochpunkt am rechten Rand.

Mehr als die erste Ableitung wird nicht benötigt.

Answer 2

Falls doch gemeint ist:

f ( x ) = x^3 - 3x    -2≤ x ≤ 2

f ´( x ) = 3 * x^2 - 3
f ´´ ( x ) = 6 * x

Stellen mit waagerechter Tangente
3 * x^2 - 3 = 0  | : 3
x^2 - 1 = 0
x^2 = 1
x = -1
und
x = 1

f ( 1 ) = 1^3 - 3*1 = -2
f ( -1 ) = (-1)^3 - 3*(-1) = -1 + 3 = 2
Hoch- oder Tiefpunkt
f ´´ ( 1 ) = 6 * 1 = 6 = Tiefpunkt
f ´´ ( -1 ) = 6 * (-1 ) = -6 = Hochpunkt

T ( 1  | -2 )
H ( -1 | 2 )

Wendepunkt
f ´´ ( x ) = 6 * x = 0
6 * x = 0
x = 0
f ( 0 ) = 0

W ( 0 | 0 )