Aufgabe:
Gegeben ist eine Funktion \( f \) mit der Gleichung \( f(x)=\frac{2}{3} x^{3}-x^{2}+\frac{3}{8} x ~ (x \in \mathbb{R}) \).
a) Berechnen Sie die Nullstellen von \( f \) sowie die Extrempunkte des Graphen von \( f \). Ermitteln Sie auch die Art der Extrema. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f genau einen Wendepunkt hat, und geben Sie die Koordinaten dieses Wendepunktes an. [T2]
b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt \( P(0,5 / f(0,5)) \). Die Tangente t und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. [T3]
c) Eine Gerade \( g \) ist durch die Punkte \( A(0 \mid 1) \) und \( B(4 \mid 2,5) \) bestimmt. [T4]
Es existieren Tangenten an den Graphen der Funktion \( \mathrm{f} \), die parallel zur Geraden g verlaufen. Ermitteln Sie die Abszissen der Berührpunkte dieser Tangenten mit dem Graphen der Funktion f. [T5]
