Nullstellen, Extremstellem, Wendepunkt ermitteln

Question

Aufgabe:

Gegeben ist eine Funktion \( f \) mit der Gleichung \( f(x)=\frac{2}{3} x^{3}-x^{2}+\frac{3}{8} x ~ (x \in \mathbb{R}) \).

a) Berechnen Sie die Nullstellen von \( f \) sowie die Extrempunkte des Graphen von \( f \). Ermitteln Sie auch die Art der Extrema. Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f genau einen Wendepunkt hat, und geben Sie die Koordinaten dieses Wendepunktes an. [T2]

b) Ermitteln Sie eine Gleichung der Tangente t an den Graphen der Funktion f im Punkt \( P(0,5 / f(0,5)) \). Die Tangente t und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks. [T3]

c) Eine Gerade \( g \) ist durch die Punkte \( A(0 \mid 1) \) und \( B(4 \mid 2,5) \) bestimmt. [T4]

Es existieren Tangenten an den Graphen der Funktion \( \mathrm{f} \), die parallel zur Geraden g verlaufen. Ermitteln Sie die Abszissen der Berührpunkte dieser Tangenten mit dem Graphen der Funktion f. [T5]

Answer 1

f(x) = 2/3·x^3 - x^2 + 3/8·x
f'(x) = 2·x^2 - 2·x + 3/8
f''(x) = 4·x - 2

a)

Nullstellen f(x) = 0
2/3·x^3 - x^2 + 3/8·x = x*(2/3·x^2 - x + 3/8) = 0
x = 3/4 ∨ x = 0

Extremstellen f'(x) = 0
x = 3/4 ∨ x = 1/4

f(1/4) = 1/24 --> Maximum da der Funktionswert hier größer ist als beim Minimum

f(3/4) = 0 --> Minimum

Wendestelle f''(x) = 0
4·x - 2 = 0
x = 1/2

f(1/2) = 1/48

Comments

jau wie kommst du bei den nullstellen auf das ergebnis:

x = 3/4 ∨ x = 0 ?

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Die Bedingung darüber war

x * (2/3·x² - x + 3/8) = 0

Das x könnte hier also Null werden oder die Klammer könnte null werden. Für die Klammer benutzt man abc oder pq Formel für quadratische Gleichungen.

2/3·x² - x + 3/8 = 0

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ok und wie kommst du auf die extremstellen:

Extremstellen f'(x) = 0
x = 3/4 ∨ x = 1/4 ?

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Die Bedingung für die Extremstelle ist f'(x) = 0. f'(x) kennst du und kannst einsetzen:

2·x² - 2·x + 3/8 = 0

Dieses ist jetzt wieder eine quadratische Gleichung die über abc oder pq-Formel zu lösen ist.