Verhalten einer Funktion an ihren Definitionslücken. (x^2 - 3·x) / (x^2 + 5·x)

Question

hallo Community,

Ich komme bei einer Aufgabe beim üben nicht voran. Und zwar soll ich das Verhalten von 2 Funktionen an ihren definitinslücken nachweisen, weiß aber nicht wie ich vorangehen soll. Ich weiß dass ich linksseitig und rechtsseitig den Grenzwert bestimmen muss, aber die 2 Funktionen sind irgendwie kompliziert in meinen Augen :/

Answer 1

f(x) = (x^2 - 3·x) / (x^2 + 5·x) = (x·(x - 3)) / (x·(x + 5))

Wir erkennen x = 0 als Definitionslücke und beheben diese durch stetige Ergänzung

f(x) = (x - 3) / (x + 5)

Für x --> 0

lim (x --> 0) f(x) = -3/5 = -0.6

Ansonsten haben wir eine Polstelle bei x + 5 = 0 --> x = -5

Der Zähler ist für x = -5 negativ. Im Nenner wechselt das Vorzeichen von - auf +. Damit ist

lim (x --> -5^-) f(x) = +∞

lim (x --> -5⁺) f(x) = -∞

Skizze

Comments

g(x) hat nur eine definitionslücke bei 1, richtig ? Beim ausfaktorisieren komme ich nämlich auf x^2+x daher keine Polstelle vorhanden

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g(x) = (x^3 + 2·x^2 + x)/(x + 1) = (x·(x + 1)^2)/(x + 1) = x·(x + 1) = x^2 + x

Ich habe hier schon die stetige Ergänzung für die Stelle x = -1 durchgeführt.

Die Definitionslücke ist bei -1 und nicht bei +1. Das solltest du beachten.

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Verzeihung, -1 natürlich. Ich bedanke mich für Ihre Hilfe

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Hallo Coach, kannst du mir vielleicht erklären, wie man die Bilder aus dem Plotter einfügt?

Code kopieren und einsetzen funktioniert einfach nicht!

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Falls du ein externes Bild einfügen willst muß es bereits als
*.jpg Datei auf der Festplatte vorliegen:

Dann untenhalb dieses Textfeldes  bei " Bild oder Dokument hochladen
" Durchsuchen "  " auswählen. Dann wird es eingefügt.

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@Wolfgang

Ich benutzte fast immer Mathegrafix als Plotter und füge die Bilder hier als Bild ein. So kann ich es hier darstellen wie ich es auch ins Heft zeichnen würde.

Wenn auch Lu in einem anderen Thread hatte den Plotluxplotter einzubinden wird da wohl ein kleiner Fehler sein der sicher bald behoben wird.

Answer 2

f(x) = [ x² -3x ] / [ x² + 5x ]

Zähler und Nenner in Faktoren zerlegen:

f(x) = [ x • (x - 3) ] / [ x • (x+5) ] = [ x-3 ] / [ x+5 ]  für x≠0

lim (x->0) f(x) = -3/5  erhältst du einfach durch Einsetzen von x=0

Bei lim (x->-5⁺)  und lim(x--5^-) geht es nur noch um die Frage +∞ oder -∞.

Die Entscheidung wird einfach, wenn du in alle Linearfaktoren, die für x= -5 nicht den Wert 0 haben, den Wert x=-5 einsetzt:

lim (x->-5⁺)  ( [ x-3 ] / [ x+5 ] ) = lim(x->-5⁺) ( -8 / [x+5] ) = - ∞, weil der Nenner ein positives Vorzeichen hat.

im (x->-5^-)  ( [ x-3 ] / [ x+5 ] ) = lim(x->-5^-) ( -8 / [x+5] ) = ∞, weil der Nenner ein negatives Vorzeichen hat.

Comments

Danke sehr, ich habe den ersten Teil gut verstanden. Ich kapiere aber noch nicht wie ich auf die -5 komme bzw. dieses "lim (x->-5+) lim (x->-5-)

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Beim ersten (einseitigen) Grenzwert strebt x von rechts gegen -5 [-5⁺], beim zweiten von links [-5^-]

-5 ist halt eine Definitionslücke (Polstelle), weil beim Einsetzen der Nenner 0 wird.

0 ist auch eine Definitionslücke, aber "stetig behebbar", weil man den Linearfaktor x aus dem Nenner wegkürzen kann.