Stochastik - verbeulte Münze - mit Wiederholung und Reihenfolge

Question

Eine verbeult Münze wird mehrfach geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dafür dass bei einem wurf "Wappen" fällt beträgt p.

a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit folgenden Ereignisse A und B an

A: bei fünf Würfen fällt genau dreimal "Wappen"

B: bei fünf Würfen fällt genau dreimal "Wappen" darunter bei den ersten beiden Würfen zweimal

b) Die Wahrscheinlichkeit dafür dass bei drei Würfen dreimal "Wappen" fällt ist 0,2 16 überprüfen Sie ob das Ergebnis "Wappen" wahrscheinlicher ist als das Ergebnis Zahl

Zu a) habe ich bereits folgende überlegen gemacht:

A: (1/p) * (1/p) × (1/p) × (1/1-p) × (1/1-p)

Ereigniss B müsste ja ähnlich sein, aber ich weiß nicht mehr wie ich dort die Reihenfolge reinbekomme, dass es bei den ersten beiden Würfen schon zwei Wappen sind :x

Bei b) würde ich irgendwie versuchen rückwärts zu rechnen, durch gleichsetzen oder so.. aber ich weiß leider echt nicht mehr wie das ging :/

Answer 1

Die Wahrscheinlichkeit dafür dass bei einem wurf "Wappen" fällt beträgt p.

a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit folgenden Ereignisse A und B an

A: bei fünf Würfen fällt genau dreimal "Wappen"

P(A) = p^3 (1-p)^2 * ( 5 tief 3) = p^3 (1-p)^2 * 5!/(2! * 3!)

3 mal Wappen (und dann) 2 mal Zahl (mal Anzahl der Anordnungsmöglichkeiten von 3 w und 2 z) 

B: bei fünf Würfen fällt genau dreimal "Wappen" darunter bei den ersten beiden Würfen zweimal

P(B) = p^3 *(1-p)^2 * 3

Der Faktor 3, weil 3 Fälle möglich sind. wwwzz, wwzwz, wwzzw.

b) Die Wahrscheinlichkeit dafür dass bei drei Würfen dreimal "Wappen" fällt ist 0,2 16 

p wie oben definiert.

p^3 = 0.216

p = ^{3}√(0.216) =

überprüfen Sie ob das Ergebnis "Wappen" wahrscheinlicher ist als das Ergebnis Zahl

Kommt nun drauf an, ob p grösser oder kleiner als 0.5 ist.

Zur Kontrolle: Weil p=0.6 ist Wappen wahrscheinlicher als Zahl. 

Comments

Wo sind denn bei a) A die anderen beiden Würfe?

Müsstest es nicht heißen

P (A)= p^3 *(1-p)^2 ??

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hj1900: Danke für den Hinweis. Wurde korrigiert.

Answer 2

Eine verbeult Münze wird mehrfach geworfen. Die Wahrscheinlichkeit dafür dass bei einem wurf "Wappen"fällt beträgt p.

a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit folgenden Ereignisse A und B an

A: bei fünf Würfen fällt genau dreimal "Wappen"

p^3

B: bei fünf Würfen fällt genau dreimal "Wappen" darunter bei den ersten beiden Würfen zweimal

p^2 * (3 über 1) * p^1 * (1 - p)^2

b) Die Wahrscheinlichkeit dafür dass bei drei Würfen dreimal "Wappen" fällt ist 0,2 16 überprüfen Sie ob das Ergebnis "Wappen" wahrscheinlicher ist als das Ergebnis Zahl

p^3 = 0.216 --> p = 0.6

Damit ist Wappen wahrscheinlicher als Zahl (1 - p = 0.4).

Comments

Wie kommst du bei a) bei Ereignisse B auf diese 3 über 1??

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Bei den letzten 3 Münzwürfen soll genau einmal Wappen fallen. (3 über 1) berechnet die Möglichkeiten dafür. Natürlich hätte ich auch einfach nur 3 schreiben können. Aber so ist es skalierbar. Also kann man das so auch berechnen wenn von 20 Münzwürfen genau 10 Wappen sein sollen und darunter bei den ersten beiden Würfen zweimal.