Question

Rechnung mit Vektoren. Schwerpunkt von einem unregelmäßigen Dreieck ABC?

In einem Dreieck schneiden sich die Verbindungsstrecken der Eckpunkte A, B, C mit den gegenüberliegenden Seitenmitten in einem Punkt S. 
Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes S in einem Dreieck ABC mit

A (-2/-2/-2) B (-2/-1/3) C (-4/5/-1)

Würde mich freuen wenn mir jemand das erklären könnte :)

Answer 1

Seitenmitte von AB bekommst du durch Addition der

Ortsvektoren von A und B und dann mal 0,5.

etc.

Dann die Gerade durch C und diese Seitenmitte,

Das gleiche mit den anderen und dann die Schnittpunkte ausrechnnen-

zur Kontrolle: Das Ergebnis ist der Punkt, dessen Ortvektor die Summe derer

von A, B und C ist und dann mal 1/3.

Comments

Wie ist das mit 'dann die gerade durch C  und diese Seitenmitte' gemeint?

Weshalb muss ich am Ende mein Endergebnis mit 1/3 multiplizieren?

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Seitenmitte von AB ist ( -2 | -1,5 | 0,5 )

Die Gerade durch C und die Seitenmitte von AB hätte die

Gleichung   x =  ( -4 | 5 | -1 ) + r* ( -4+2 | 5 +1,5 | -1 - 0,5 )

                        =  ( -4 | 5 | -1 ) + r* ( -2 | 6,5 | -1,5 )

Und so müsstest du die anderen beiden Geraden entsprechend

bilden, wenn du die Formel vom Schwerpunkt nicht

anwenden willst bzw. darfst.

Answer 2

Der gesuchte Punkt ist der Schwerpunkt des Dreiecks. Nenne ihn zum Beispiel S.

Du kannst seinen Ortsvektor 0S aus den Ortsvektoren der gegebenen Punkte berechnen als

0S = 1/3 (0A + 0B + 0C) = 1/3 ( -8, 2, 0) = (-8/3, 2/3, 0) 

S(-8/3, 2/3, 0) 

Wegen: A (-2/-2/-2) B (-2/-1/3) C (-4/5/-1)

Vgl. https://de.wikipedia.org/wiki/Geometrischer_Schwerpunkt#Dreieck

und http://www.mathematische-basteleien.de/schwerpunkt.htm#Schwerpunkt%20eines%20Dreiecks