Schwerpunkt eines Dreiecks ABC mit dem Vektor AMa berechnen

Question

Aufgabe:

Berechne den Vektor AMa und nutze diesen um den Schwerpunkt des Dreiecks ABC zu berechnen.

Problem/Ansatz:

Schon gegeben sind die Punkte A(-2 , 3, 10) B(2, -1, 6) und C(0, 7, 8). Ich weiß zwar, wie man den Schwerpunkt mit der allgemeinen Formel berechnet, hier soll man aber nur den Vektor AMa verwenden, weswegen ich nicht weiß, wie man den Schwerpunkt in diesem Fall berechnet. Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt!

Comments

Hallo

 was ist denn M und was a? bitte immer die ganze Aufgabe mit allen Angaben posten

Gruß lul

Answer 1

Hallo,

der Punkt \(M_a\) ist der Mittelpunkt der Seite \(a\) des Dreiecks. \(a\) liegt dem Punkt \(A\) gegenüber, folglich ist \(a=BC\). Daraus folgt dann$$M_a = \frac 12 (B + C) = \begin{pmatrix}1\\ 3\\ 7\end{pmatrix}$$ Der Vektor \(\vec{AM_a}\) ist der Vektor vom Punkt \(A\) nach \(M_a\)$$\vec{AM_a} = M_a - A = \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -3\end{pmatrix}$$und da dies die Seitenhalbierende (bzw.Schwerelinie) ist, und der Schwerpunkt \(S\) die Seitenhalbierenden im Verhältnis \(2\div 1\) teilt, so ist \(S\) auch $$S = A + \frac 23 \vec{AM_a} = \begin{pmatrix}-2\\ 3\\ 10\end{pmatrix} + \frac 23 \begin{pmatrix}3\\ 0\\ -3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\ 3\\ 8\end{pmatrix}$$Folgendes Bild zeigt das nochmal

(klick auf das Bild und drehe die Szene mit der Maus)

Tipp: setze alles in einander ein ... $$\begin{aligned} S &= A + \frac 23 \vec{AM_a} \\&= A + \frac 23(M_a - A) \\&= A + \frac 23 \left(\frac 12 (B + C) - A\right) \\&= \frac 13(A + B+ C)\end{aligned}$$... und Du erhältst die Dir bekannte Formel für den Schwerpunkt.

Answer 2

Hallo

wenn Ma der Mittelpunkt von a=BC ist dann ist es der Schwerpunkt von B und c mit dem Gewicht 2 A mit Gewicht 1

 also ist S  von A aus 2/3 vom AMa also S=A+2/3AMa

Gruß lul