Du musst dir erst mal klar machen, was so eine doppelte
Summe bedeutet. Etwa für n= 3 ist es so:
$$ \sum_{m=1}^{3}{\sum_{k=1}^{m}{18k}} $$
$$ ={\sum_{k=1}^{1}{18k}}+ {\sum_{k=1}^{2}{18k}}+{\sum_{k=1}^{3}{18k}} $$
So und jetzt geht es los mit n=1
Da bleibt nur 18 und aus dem 3n(n+1)(n+2)wird 3*2*3 also auch 18.
Damit stimmt es für n=1.
Jetzt kommt der Ind.Schritt:
wenn es für ein n stimmt, heißt das ja
$$ \sum_{m=1}^{n}{\sum_{k=1}^{m}{18k}}=3n(n+1)(n+2) $$
und dann musst die Gültigkeit für n+1 beweisen, das wäre dann
$$ \sum_{m=1}^{n+1}{\sum_{k=1}^{m}{18k}} $$
$$ = \sum_{m=1}^{n}{\sum_{k=1}^{m}{18k}}+ {\sum_{k=1}^{n+1}{18k}} $$
Jetzt die Induktionsannahme einsetzen und hinten die 18 ausklammern gibt
$$ = 3n(n+1)(n+2)+18* {\sum_{k=1}^{n+1}{k}} $$
wegen der bekannten Summenformel für summe über k
$$= 3n(n+1)(n+2)+18* \frac { (n+1)(n+2) }{ 2 }$$
und das Jetzt umformen bis 3(n+1)(n+2)(n+3) rauskommt.
