Vollständige Induktion mit Summenzeichen und !

Question

Aufgabe:

Beweise für n ∈ N(0):

\( \sum \limits_{k=0}^{n} k^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \quad \) und \( \quad \frac{4^{n}}{n+1} \leq \frac{(2 n) !}{(n !)^{2}} \)

Problem/Ansatz:

Das ist eine Aufgabe mit der ich momentan versuche die Induktion zu lernen, jedoch bin ich bei dieser Aufgabe total am scheitern, da mich vor allem das Summenzeichen und die ! verwirren. Könnte mir jemand helfen?

Answer 1

\( \sum \limits_{k=0}^{n} k^{2}=\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \quad \)

Bei Summenzeichen ist meistens ähnlich:

Zeige: es gilt für n=0.

Dann nimm an, dass es für ein n gilt.

Dann hast du

\( \sum \limits_{k=0}^{n+1} k^{2}  \)

\( = \sum \limits_{k=0}^{n} k^{2}   + (n+1)^2  \)

Jetzt die Annahme einsetzen

\( =\frac{1}{6} n(n+1)(2 n+1) \quad   +  (n+1) ^2 \)

und zeigen, dass die rechte Seite der Formel

für n+1 das gleiche ergibt, also

\( =\frac{1}{6} (n+1)(n+2)(2 (n+1) +1) \quad   \)