Aufgabe:
Die Folge (an)n∈N ist definiert durch
a1 := 0,
an+1 := 1 − \( \frac{1}{2+an} \)
n ∈ N
a) Zeigen Sie explizit mit vollständiger Induktion, dass
0 ≤ an ≤ an+1 ≤ 1 für alle n ∈ N gilt.
b) Zeigen Sie, dass die Folge (an)n∈N konvergiert und bestimmen Sie den Grenzwert.
Problem/Ansatz:
Das ist bei a).
Ist das Richtig?
Und bei b) habe ich leider keine Idee
Text erkannt:
i) Indulctionsanfang
Indulctionsanfang:
\( a_{1}=0 \)
$$ \begin{array}{l} a_{a}(1)=1-\frac{1}{2+a n} \\ n=1 \end{array} $$
Indulctionsschritt
$$ 0 \leq a_{n}=1-\frac{1}{2+0}=\frac{1}{2} \leq a_{(n+1)} $$
$$ a_{(n+2)} \leq 1-\frac{1}{2+1}=\frac{2}{3} \leq 1 $$
