Aloha :)
Wie beweisen zuerst den Ausdruck für die \(n\)-te Ableitung:$$f^{(n)}(x)=2^nn!(5-2x)^{-(n+1)}\quad;\quad n\in\mathbb N_0$$Verankerung bei \(n=0\):$$f^{(n)}(x)=f^{(0)}(x)=f(x)=(5-2x)^{-1}=2^0\cdot0!(5-2x)^{-(0+1)}=2^nn!(5-2x)^{-(n+1)}\quad\checkmark$$Induktionsschritt \(n\to n+1\):$$f^{(n+1)}(x)=\left(2^nn!(5-2x)^{-(n+1)}\right)'=2^nn!\cdot(-(n+1))\cdot(5-2x)^{-(n+1)-1}\cdot(-2)$$$$\phantom{f^{(n+1)}(x)}=2^n\cdot2\cdot n!\cdot(n+1)\cdot(5-2x)^{-n-1-1}=2^{n+1}(n+1)!\,(5-2x)^{-(n+2)}\quad\checkmark$$
Die Taylorreihe der Funktion um den Entwicklungspunkg \(x_0=1\) lautet daher:
$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}\cdot(x-x_0)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(1)}{n!}\cdot(x-1)^n$$$$\phantom{f(x)}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n\,n!\,(5-2\cdot1)^{-(n+1)}}{n!}\cdot(x-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n\cdot3^{-(n+1)}}{1}\cdot(x-1)^n$$$$\phantom{f(x)}=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^{(n+1)}}\cdot(x-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{2^n}{3^n\cdot3}\cdot(x-1)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{1}{3}\left(\frac{2x-2}{3}\right)^n$$
