Aufgabe:
a)\( f(x):=\sqrt{1-x} \cdot \ln \left(\frac{x^{2}-4}{5}\right) \). Geben Sie \( D(f) \) in Intervallschreibweise an.
b)\( x_{n+1}:=4-\sqrt{8-2 x_{n}}, \quad x_{0}:=\frac{28}{9} \). Es darf als bekannt vorausgesetzt werden, dass \( 0<x_{n}<4 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt.
(1) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass die Folge \( \left(x_{n}\right) \) streng monoton fällt.
(2) Begründen Sie, dass die Folge \( \left(x_{n}\right) \) konvergiert, und berechnen Sie \( a:=\lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n} \).
Problem/Ansatz:
a)Für die Wurzel ist das Argument \( 1-x \) nicht-negativ, also \( 1-x \geq 0 \), was zu \( x \leq 1 \) führt.
Für den Logarithmus ist das Argument \( \frac{x^{2}-4}{5} \) positiv und ungleich Null, also \( \frac{x^{2}-4}{5}>0 \), was zu \( x \in(-\infty,-2) \cup(-2,2) \cup(2, \infty) \) führt.
\( D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leq 1, x<-2 \) oder \( x>2\}=(-\infty,-2) \cup(2,1] \)
b)
1)Induktionsanfang: Für \( n=0 \) ist \( x_{0}=\frac{28}{9} \) gegeben und es gilt \( 0<x_{0}<4 \).
Induktionsschritt: Angenommen, die Aussage gelte für ein beliebiges aber festes \( n \in \mathbb{N} \), d.h. es gilt
\( x_{n}>x_{n+1} \quad \Leftrightarrow 4-\sqrt{8-2 x_{n}}>4-\sqrt{8-2 x_{n+1}} \).
Da nach Voraussetzung \( 0<x_{n}<4 \) und \( 0<x_{n+1}<4 \) ist, gilt auch \( 0< \) \( \sqrt{8-2 x_{n}}, \sqrt{8-2 x_{n+1}}<2 \). Somit kann man die Ungleichung umformen zu \( \sqrt{8-2 x_{n+1}}>\sqrt{8-2 x_{n}} \)
Quadrieren beider Seiten liefert
\( 8-2 x_{n+1}>8-2 x_{n} \)
was äquivalent ist zu \( x_{n+1}<x_{n} \). Somit ist die Aussage für \( n+1 \) gezeigt.
(2) Es gilt für alle \( n \) :
\( x_{n+1}=4-\sqrt{8-2 a_{n}}>4-\sqrt{8}=0 \)
Daraus folgt, dass \( 0<x_{n}<4 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \).
Weiterhin ist die Folge nach unten durch 0 beschränkt.
Sei \( a \) der Grenzwert der Folge \( \left(x_{n}\right) \), d.h.
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a \).
Da die Folge monoton fallend ist und nach unten beschränkt ist, konvergiert sie nach dem Monotoniekriterium. Somit existiert der Grenzwert a. Dann ergibt sich durch Einsetzen des Grenzwerts in die Rekursionsgleichung:
\( a=4-\sqrt{8-2 a} \)
Durch Umformen erhalten wir
\( \begin{array}{l}\sqrt{8-2 a}=4-a \\ 8-2 a=(4-a)^{2} \\ 8-2 a=16-8 a+a^{2} \\ a^{2}-6 a+8=0\end{array} \)
Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung sind \( a_{1}=4 \) und \( a_{2}=2 \). Da \( 0<x_{n}<4 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) gilt, ist \( a_{2} \) der einzige mögliche Grenzwert.
Somit folgt \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} x_{n}=a_{2}=2 \).
Ich habe hier meine Idee aufgeschrieben und würde gern wissen, ob ich komplett falsch liege und wie ich es verbessern könnte.
