Gegen welchen Wert konvergiert diese Reihe? ∑(1/k)^{1/2} für k=1 bis unendlich.

Question

$$\large \sum _{ k=1 }^{ n } \left(\frac{1}{k} \right) ^{ \frac{1}{2} } $$

Edit (Yakyu): Damit man es lesen kann. @Gast: Verwende $$ links und rechts vom Latex-Code für die korrekte Darstellung. Bist du dir sicher, dass dies die Reihe sein soll? Sie konvergiert nämlich nicht.

∑(1/k)^{1/2} 

Comments

ich hatte zu beginn folgenede folge : 

xn = $$ 1+\frac { 1 }{ \sqrt { 2 }  } +\frac { 1 }{ \sqrt { 3 }  } +...+\frac { 1 }{ \sqrt { n }  } $$


diese kann man ja wie ich es getan habe als summe umschreiben ... 

nun bin ich der meinung diese summe konvergiert nicht gegen einen bestimmten wert kann dies jedoch nicht wirklich mathematisch zeigen außer das ich sage das der wert dieser summe je größer n ist steigt

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Ja, die Summe wird immer größer. Das heißt aber noch nicht, dass die Reihe auch divergiert.

Um das zu zeigen, könntest du die (bekanntlich divergente) harmonische Reihe benutzen.

Answer 1

Wenn Du nur die Divergenz beweisen sollst, hat ...Nick1 recht, da reicht der Vergleich mit der kleineren harmonischen Reihe, die bereits divergiert.

Nun zum exakten Weg:

wenn k nicht mit 1 sondern 0 beginnt, ist das genau die Definition der HurwitzZeta Funktion.

Da sie jedoch erst bei k=1 beginnt, folgt:

f(n) = Zeta(1/2)-HurwitzZeta(1/2, 1+n) 

(siehe WolframAlpha und http://www.lamprechts.de/gerd/php/RechnerMitUmkehrfunktion.php )

Zeta(1/2)=-1.460354508809586812889499152515298012467229331...

und -HurwitzZeta(1/2, 1+n)  {Minus wichtig!) konvergiert gegen:

2*sqrt(n) +sqrt(1/n)/2-(1/n)^{3/2}/24 + Rest mit sqrt(x) = Wurzel von x

Der Rest wird kubisch { also (1/n)^3 } kleiner.

Comments

Dazu eine Verständnisfrage: Wenn \(k\) mit Null beginnt, ist die Reihe m.E. nicht definiert, und wie wird aus der Reihe eine Funktion?

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Ich hätte statt "...genau die Definition..." besser schreiben sollen "...ähnelt der Funktion", da

und bei a = ganzen negativen Zahlen 0, -1, -2 -> gibt es Polstellen!

s=1/2

Die Polstellen sind bei Funktionen aber nichts besonderes: tan(x), Gamma(x), usw.

Die Grafik zeigt beide Funktionen:

bei x gegen -1 kommt die Polstelle (blaue Kurve) aber schon x<0 interessiert hier bei dieser Aufgabe nicht.

Schon ab x> 1 zeigt sich die gute asymptotische Konvergenz der roten Kurve gegen die gesuchte Funktion.

Re(...) also Realteil habe ich genommen, da negative Wurzeln nur bei komplexen Zahlen definiert sind.

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Für \(s=\frac12\) gilt aber nicht \(\operatorname{Re}(s)>1\) und ist \(\zeta(s,a)\) nicht definiert?

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Das ist nur eine einfache von vielen möglichen Definitionen/Algorithmen. Mehr unter

http://functions.wolfram.com/ZetaFunctionsandPolylogarithms/Zeta2/

Dort gibt es auch noch 320 andere Algorithmen ohne die Einschränkung für's 1. Argument.

Ich nehme gern hypergeometrische Funktionen, da ich schon eine fertige Bibliothek habe.

Dass das funktioniert zeigt schon allein die Grafik.

Je nach Größe der Argumente muss man oft sogar den Algorithmus wechseln (Code-Optimierung), da die Konvergenzgeschwindigkeit bis zum Erreichen der gewünschten Genauigkeit stark schwankt.