Zeigen Sie, dass die Reihe absolut konvergiert. ∑ (oben: unendlich, unten: k=0) (-1)^k (k+1)/(2)^k

Question

Ich soll zeigen, dass die Reihe <∑ (oben: unendlich, unten: k=0) (-1)^k (k+1)/(2)^k > absolut konvergiert, weiß aber nicht wie ich vorgehen muss.

Danke schon mal für die Antworten :)

EDIT: Gemäss Kommentaren: Klammern ergänzt bei (k+1)/(2)^k 

Comments

Damit ich das richtig verstehe: es geht um $$ \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^kk+(\frac{1}{2})^k $$ ?

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Bis nach dem (-1)^k stimmt alles, danach geht es mit (k+1)/2^k weiter :)

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Nutze das Wurzelkriterium von Cauchy. Durch den Betrag fällt das (-1)^k weg und man sieht schnell, dass der Grenzwert 1/2 ist.

Answer 1

Durch Anwenden des Wurzelkriteriums folgt:

Der Betrag Betrag -1^k entfällt dann (danke bongobums)

$$ \sqrt [ k ]{ \frac { k+1 }{ { 2 }^{ k } }  } =\frac { \sqrt [ k ]{ k+1 }  }{ \sqrt [ k ]{ { 2 }^{ k } }  } =\frac { \sqrt [ k ]{ k+1 }  }{ 2 }  $$

Jetzt letzteres gegen unendlich laufen lassen

$$ \lim _{ k->\infty  }{ \frac { \sqrt [ k ]{ k+1 }  }{ 2 }  } =\frac { 1 }{ 2 } <1 $$

Nach W.Kriterium liegt Konvergenz vor