Wieso konvergiert diese Reihe nicht absolut?

Question

habe eigentlich zwei Fragen. Zuerst frage ich mich, wieso diese Reihe nicht absolut konvergiert:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}(\sqrt[n]{5}-1)$$

Der Wurzelausdruck strebt doch gegen 1 und wenn man dann auch noch 1 subtrahiert werden doch im Endeffekt nur noch unendlich kleine Summanden aufaddiert oder nicht?

Außerdem wollte euch fragen, was der Grenzwert von \( \sqrt[n]{n!} \) ist?

Comments

und wenn man dann auch noch 1 subtrahiert werden doch im Endeffekt nur noch unendlich kleine Summanden aufaddiert oder nicht?

Ja, genau wie bei \(\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n}\). Konvergiert bekanntermaßen auch nicht.

Answer 1

werden doch im Endeffekt nur noch unendlich kleine Summanden aufaddiert oder nicht?

Das geschieht bei der harmonischen Reihe auch, trotzdem divergiert diese.

Was den Grenzwert von \(\sqrt[n]{n!}\) betrifft: nach einigen numerischen Versuchen glaube ich nicht, dass ein endlicher Grenzwert existiert.

PS: Ebenfalls mit numerischen Versuchen habe ich festgestellt, dass \(\sqrt[n]{5}-1\) deutlich größer zu sein scheint als 1/n.

Answer 2

Hallo

 dass die Summanden eine Nullfolge bilden heisst nicht, dass die Reihe konvergiert, vergleiche mit 1/n

 nimm an (n‾√5−1)<1/n dann  würde folgen 5<(1+1/n)^n das konvergiert aber gegen e also ist n‾√5−1)>1/n und damit divergiert die  rein positive Folge.

die  nte Wurzel n! geht gegen oo

Gruß lul

Answer 3

im Endeffekt nur noch unendlich kleine Summanden aufaddiert

b_n = 1/n divergiert auch. Nutze z.B. diese als Minorante.

Der GW von \(\sqrt[n]{n!}\) ex. nicht.