Beweise, dass der Term mit Wurzeln rational ist: (1+√2+√3)*(1+√2 -√3)*...

Question

Beweise, dass der Term mit Wurzeln rational ist:

 \( (1+\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1-\sqrt{2}-\sqrt{3}) \)

Ansatz/Problem:

Mein Taschenrechner spuckt als Ergebnis -8 aus, was durchaus eine rationale Zahl ist, aber wenn ich versuche alles selbst umzuformen usw. entsteht bei mit -6 oder -7 oder -8.

Answer 1

Yup,

binomische Formel ist der richtige (sinnvolle) Ansatz:

 

Dritten Binomi auf ersten und zweiten, sowie dritten und vierten Faktor anwenden:

((1+√2)^2-3)((1-√2)^2-3)

Binomi zum Ausrechnen der jeweils ersten Summanden:

(1+2√2+2-3)(1-2√2+2-3)=2√2*(-2√2)=-8

 

 

Grüße

Comments

Vielen Dank, hat mich schon mal mehr verstehen lassen. Woher kommt die (1+2√2+2-3)(1-2√2+2-3)?

Wie wird die Binomische Formel dort angewendet?

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Hi Zemtax,

Das ist die erste (bzw, zweite) binomische Formel:

(1+√2)^2=1^2+2*1*√2+√2*√2=1+2√2+2

 

Alles klar? ;)

 

(P.S.: Bin gleich wieder daheim und wir haben einen Internetausfall. Antworten können leider etwas brauchen ;/ )

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Aaah ! :) Vielen Dank, jetzt verstehe ich das. Also kommt die -2 bzw. +2 dann von der 2. bzw. 1. Formel ;)

Danke danke danke :)  Hab seit ein paar Stunden versucht das zu lösen, aber habe nur mit der 3. Binomi und Distributiv gearbeitet. Kam nichts gutes bei raus. Mathe ist schon interessant, wenn man es versteht! :) Also kann ich einfach damit argumentieren, dass der Term rational ist, weil das Ergebnis -8 ist und dies eine natürliche Zahl ist, die man als Bruch darstellen kann?

Nochmals

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-8 ist eine ganze Zahl und keine natürliche. Und das ist schon Aussage genug ;).

Answer 2

Ich würde im ersten Schritt die dritte Binomische Formel benutzen, um die beiden ersten und die beiden letzten Faktoren zu multiplizieren. Ich betrachte dabei die beiden jeweils ersten Summanden als Einheit.