untersuche die Abbildung psi: R^n -> R^n mit psi(x)=x+a, a e R^n auf fixpunkte

Question

Ich habe überhaupt keine Ahnung wie ich da rangehen soll:(

 

ich weiß zwar dass nach dem banachschen fixpunktsatz gilt :

 die Kontraktion eines vollständigen, nichtleeren metrischen Raumes X hat genau einen Fixpunkt.

wie kann ich die aufgabe jetzt mit dem banachschen fixpunktsatz vergleichen???

für irgendwelche hilfe wäre ich sehr dankbar :(

Answer 1

ich würde sagen, sie hat einfach keine Fixpunkte für a ≠ 0 (Nullvektor). Angenommen x_0 wäre ein solcher Fixpunkt. Das heißt, es gilt f(x_0) = x_0 = x_0 + a, ein Widerspruch.

MfG

Mister

Answer 2

Auch für a=0 ist hat die Funktion keinen Fixpunkt. Unter anderem weil keine Kontraktion vorliegt. Es ist die Bedingung

|f(x1)-f(x2)|<=|x1-x2| ist für die Identität scharf. Das heißt ich finde keine Konstante L in [0,1) sodass folgende Bedingung gelten würde: |f(x1)-f(x2)|<=L*|x1-x2|

natürlich kann man auch für a ungleich 0 zeigen, dass die Abbildung keine Kontraktion ist.

|f(x1)-f(x2)|=|x1-a-x2+a|=|x1-x2|<=|x1-x2| ist trivialerweise ebenfalls eine scharfe Abschätzung. Analog zu oben gilt, das ich keine Konstante L finden kann, sodass die Abschätzung gilt. Somit ist auch die Abbildung keine Kontraktion.

lg

Comments

Kontraktion ist keine notwendige Eigenschaft für die Fixpunkteigenschaft. Die Identität f(x) = x hat gemäß ihrer Bestimmungsgleichung nur Fixpunkte in ihrem Definitionsbereich.