berühren alle graphen der schar die x achse?

Question

gegeben  ist die funktionenschar fa(x)=x^3-3a^2x+2a^3

1) zeigen sie, dass alle graphen der schar die x achse berühren

2) zeigen sie, dass fa symmetrisch zu f-a ist.

Answer 1

f(x) = x^3 - 3·a^2·x + 2·a^3

f'(x) = 3·x^2 - 3·a^2 = 0 --> x = -a ∨ x = a

f''(-a) = 6·(-a) = <> 0

f''(a) = 6·(a) = <> 0

f(-a) = (-a)^3 - 3·a^2·(-a) + 2·a^3 = 4·a^3

f(a) = (a)^3 - 3·a^2·(a) + 2·a^3 = 0 --> Hier wird die x-Achse berührt

Comments

Ich habe dazu eine Frage:

Ist dann die Lösung, dass an der Stelle (a I 0 ) die Graphen die x- Achse berühren?

 Das sind doch einfach immer die Nullstellen der Funktionen oder?

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Die Nullstellen sind bei a und -2a. Aber nur bei a ist ein Extremum.

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Ahh Danke.
Aber -a ist auch ein Extremum, wenn ich mich nicht irre.
Aber es geht beid er Aufgabe doch nicht um Extrema...

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Ein Berührpunkt der x-Achse ist auch immer ein Extrema. Daher kann man auch sagen das es um Extrema geht, die auf der x-Achse liegen.

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Danke.

2 Sachen nun:

° Du sagt ja, dass nur bei a ein Extremum ist, aber bei -a liegt auch einer ?

Und

° Kann man als Antwort sagen:

Sie berühren sich an der Stelle (aI0) ?

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ja bei -a ist auch ein Extrema. Du hast eine Funktion 3. Grades. Es gibt dort nur 2 Extrema oder keines.

Sie berühren sich an der Stelle (aI0) ? 

Ja wenn du den Graphen und die x-Achse meinst.

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Ja Genau. Danke.

Also wäre meine Antwort unklar, wenn ich das schreiben würde?

Sie berühren sich an der Stelle (aI0) ? 

Also:

1) zeigen sie, dass alle graphen der schar die x achse berühren

......

Alle Grapheb der Schar berühren sich bei (aI0)

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Alle Grapheb der Schar berühren sich bei (aI0) 

So ist deine Formulierung falsch. 

Du schreibst dort das sich die Graphen der Schar dort berühren. Das ist verkehrt. Alle Graphen der Schar berühren in (a | 0) die x-Achse. So ist das richtig formuliert.

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Alle Graphen der Schar berühren in (a | 0) die x-Achse.
Okay vielen Dank nochmal.

Answer 2

zu 1) Zeige \(f(a)=f'(a)=0.\)