Möbiustransformation bilden

Question

Ich habe folgendes Problem bei einer Aufgabe zur Klausurvorbereitung.

Eine Möbiustransformation hat die Form:

f(z) = (a*z + b) / (c*z +d)

Mit a*d - b*c ungleich 0.

Im ersten Schritt sollte ich zeigen, dass es so eine Funktion mit f(1) = 1 , f(-1) = -1 und f(0) = i gibt.

Also einfach Gleichungen umstellen und nach eine Variable frei setzen und schauen ob die Bedingung dann erfüllt ist. ( a = 1 b = i c=i d=1)

Mein Problem jetzt:
Der zweite Teil der Aufgabe lautet:

Gibt es so eine Funktion für f(1) = 1 , f(-1) = -1 und f(0) = i und f(∞) = -i ?

Liege ich richtig, dass f(∞) auf a/c abgebildet wird und dies für die Funktion, die im voherigen Teil bestimmt wurde gilt?

Answer 1

Hallo Marvin,

deine Überlegung geht schon in die richtig Richtung. Für die Möbiustransformation \(f: \mathbb{C}_{\infty} \to \mathbb{C}_{\infty}, \quad f(z) = \frac{az+b}{cz+d} \) definiert man üblicher Weise:

$$ f (\infty) := \begin{cases} \frac{a}{c}, c \neq 0 \\ \infty, c = 0 \end{cases} $$

Somit bleibt für dich also nur noch die Frage übrig, ob

\(\frac{1}{i} = -i \) ist.

Gruß

Comments

Dass 1/i = -i ist, ist bereits klar.

Danke sehr :)

Answer 2

Ich finde deine Idee überzeugend.