Aufgabe zur Polarisation einer Flüssigkeit mit Molekülen mit Dipolmoment m in einen Feld E.

Question

Hallo wir haben folgende Aufgabe:

leider weiss ich nicht genau, was ich bei dieser Aufgabe machen sollte, bzw. wie ich da einsteigen muss.

Answer 1

Hinweis: Nahe 0 ist:

$$ \coth(x) \approx \frac{1}{x} + \frac{x}{3} $$

Gruß

Comments

vielen Dank für die Antwort!

Heisst das ich muss den coth(x) mit dem genannten Ausdruck ersetzen und dann so vereinfachen, dass ich auf  den zuletzt genannten Ausdruck im Aufgabentext komme?

Und wenn ja, wie bringe ich das μE<<k_BT in den Lösungsweg?

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Und wenn ja, wie bringe ich das μE<<k_BT in den Lösungsweg? 

Das bedeutet der Audruck \( \frac{\mu E}{k_B T} \) ist sehr sehr klein, sprich nahe Null.

Deswegen kannst und sollst du meinen Hinweis verwenden.

Ja, dies bedeutet, dass du die Terme ersetzen kannst (um eine Approximation zu erhalten). Rechne richtig zusammen und du kommst auf die Lösung.

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Super! Danke vielmals!

Bin nun genau auf den gesuchten Ausdruck gekommen.

Eine Frage habe ich aber noch: Unser Donzent hat mündlich noch erwähnt, dass man die in der coth-Funktion auftretenden Exponentialfunktionen bis zur 3. Ordnung entwickeln muss, um auf das gewünschte Ergbebnis zu kommen. Was ggenau würde man das machen? (aso nach welcher Variablen überhaupt ableiten?) und wieso funktioniert dieser Lösungsweg ohne das genauso gut?

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Es ist $$ \coth(x) = \frac{e^x+e^{-x}}{e^x-e^{-x}} $$

Dein Dozent meint:

Entwickle die Exponentialfunktionen \(f(x) = e^x\) und \(g(x) = e^{-x} \) mittels Taylor-Reihe bis zur 3. Ordnung um den Entwicklungspunkt \(x=0\). Setze die Entwicklungen in die \(\coth\)-Funktion ein, vereinfache und schätze ab, dann kommst du auf meinen Hinweis.

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Achso, ok.

Ich habe es jetzt vereinfacht und bin auf

gemommen.

Stimmt das und wenn ja, wie kann ich das nun abschätzen, dass ich auf deine Annäherung komme?

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$$ \frac{1+\frac{x^2}{2}}{x+\frac{x^3}{6}} = \frac{1}{x} + \frac{\frac{x}{3}}{1+ \frac{x^2}{6}} \approx \frac{1}{x} + \frac{x}{3}$$

da nahe 0 der Term \( \frac{x^2}{2} \) vernachlässigt werden kann. Ist das eine Aufgabe aus dem Physik-Studium?

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Nochmals vielen Dank!

Also stimmt mein Term und ich muss nur oben und unten die 2 ausklammern und kürzen?

Haha, dort würde ich solche Aufgaben noch erwarten. Leider ist es eine Aufgabe aus einer Mathevorlesung des Chemiestudiums, wobei nur schon die Defninition des Coth in den vorherigen zwei Semestern noch nie erwähnt wurde :/

Ein Hoch auf das Forum! :)

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Sehr gerne. Dein Term ist korrekt, hoffe die weiteren Schritte soweit verständlich.

Interessant, bin bisher weder mit dem Chemiestudium noch mit den zugehörigen Mathevorlesungen in Kontakt gekommen. Danke für die Rückmeldung :).

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Eine letzte Rückfrage habe ich noch, und zwar verstehe ich die vorletzte Umformung nicht ganz, also was genau gemacht wird, dass zwei Brüche entstehen die addiert werden und woher das x/3 genau kommt?

und wieso genau kann man x^2/2 vernachlässigen?

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$$\Large \frac{1+\frac{x^2}{2}}{x+\frac{x^3}{6}} = \frac{(1+ \frac{x^2}{6})+\frac{x^2}{3}}{x(1+\frac{x^2}{6})}$$

Als Zwischenschritt.

Und für \( x \approx 0 \) ist \(\frac{x^2}{6} \ll |x| \) also für positive \(x\) viel kleiner und somit  in eurem Sinne "vernachlässigbar".

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Top! Jetzt sollte ich alles verstanden haben.

Danke nochmals :)