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entwickeln sie die funktion

f(x,y, z ) = exyz 

in ein Taylorpolynom um (1,1,1 ) bis zur zweiten ordnung.



bitte um hilfe 

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ich hab hier echt keinen anfang. bitte um eine kleine hilfe 



LG

Hallo

ich versuch mich mal. Wenn Du nach x ableitest, kannst Du y und z als Konstante betrachten. Als Denkhilfe kannst Du dir dann auch y=3 und z=4 denken, aber später natürlich wieder ändern

\(  f(x,y,z)={ e }^{ xyz }\quad \quad \\  f'_x=\frac { \partial f(x,y,z)  }{ \partial x }=yz{ e }^{ xyz } \)

Wenn ich das richtig sehe, dann musst Du hier die Kettenregel anwenden.

Angaben ohne Gewähr, da ich Differentialrechnung noch nicht hatte. Nur so als Tipp vielleicht :)

Hi Emre,

die partielle Ableitung ist schon richtig allerdings reicht es wenn du \( f_x \) schreibst. Das ist nämlich eine der Notationen für "f nach x abgeleitet". Der Strich oben kann also weggelassen werden.

Hallo Yakyu :)

Ah ok Danke für die Info :)

1 Antwort

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Schreib dir doch erst mal hin was du brauchst:
Taylorpolynom ist
T(x,y,z) = f(1,1,1)+fx(1,1,1)*(x-1)+fy(1,1,1)*(y-1)+fz(1,1,1)*(z-1)
              +0,5*fxx(1,1,1)*(x-1)^2 +0,5*fxy(1,1,1)*(y-1)(x-1) +0,5*fxz(1,1,1)*(x-1)(z-1)
              +0,5*fyx(1,1,1)*(x-1)(y-1) +0,5*fyy(1,1,1)*(y-1)^2 +0,5*fyz(1,1,1)*(z-1)(y-1)
              +0,5*fzx(1,1,1)*(x-1)(z-1) +0,5*fzy(1,1,1)*(y-1)(z-1) +0,5*fzz(1,1,1)*(z-1)^2
Ich hab mal die ganzen Abl-Striche weggelassen!

und jetzt geht es los:  f(1,1,1)=e
fx(x,y,z)=y*z*exyz (s. Kommentar) also  fx(1,1,1)=1*1*e^{1} = e
fy(x,y,z)=x*z*exyz      also wieder nur e.
etc.
Bei den 2. Ableitungen wird es etwas wilder.
zuerst nicht:
fxx(x,y,z)=    (Du musst also y*z*exyz nochmal nach x ableiten, gibt
fxx(x,y,z)=y^2*z^2 *exyz     also wieder für 1,1,1 als Erg. e
aber
fxy(x,y,z)=   (Du musst also y*z*exyz nach y ableiten, da brauchst du die Produktregel
                    mit u= y*z   und   v=  e^{xyz}  
                 also  u ' = z              v ' = xz*   e^{xyz}  
also fxy(x,y,z)=  yz* xz*   e^{xyz}   + z *  e^{xyz}   =yxz^2 *   e^{xyz}   + z *  e^{xyz} 
also fxy(1,1,1)=   1*e + 1*e = 2e
beruhigend ist, dass bei  fyx(x,y,z) das gleiche rauskommt. (Satz von Schwarz!)

und dann noch viel Spaß bei dem Rest.
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