Funktion f(x)=2x^3-1 mit dem Taylorpolynom nach Potenzen von x-2 entwickeln

Question

Aufgabe:
Entwickeln Sie \(f:D\to \mathbb{R}, D\subseteq \mathbb{R}\), \(f(x)=2x^3-1\) mit dem Taylorpolynom nach Potenzen von \(x-2\). Was kann man daraus über weitere Nullstellen der Funktion \(f\) oberhalb von 2 schließen?

Problem/Ansatz:
Ich weiß, dass das Taylorpolynom mit Grad \(n\) und Entwicklungspunkt \(a\) wie folgt berechnet werden kann: $$T_{a, n}(x)=\sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(a) \cdot (x-a)^{k}}{k !}.$$ Leider verstehe ich nicht, was mit

"Entwickeln sie [...] nach Potenzen von x-2"

gemeint ist. Soll ich den Entwicklungspunkt \(a=x-2\) wählen oder wie ist das gemeint?

Answer 1

Aloha :)

Der Entwicklungspunkt des Taylor-Polynoms liegt bei \(a=2\):

$$f(x)=2x^3-1\quad\Rightarrow\quad f(2)=15$$$$f'(x)=6x^2\quad\Rightarrow\quad f'(2)=24$$$$f''(x)=12x\quad\Rightarrow\quad f''(2)=24$$$$f'''(x)=12\quad\Rightarrow\quad f'''(2)=12$$

Jetzt die Ableitungen in die Taylor-Formel einsetzen:

$$f(x)=\frac{f(2)}{0!}(x-2)^0+\frac{f'(2)}{1!}(x-2)^1+\frac{f''(2)}{2!}(x-2)^2+\frac{f'''(2)}{3!}(x-2)^3$$$$\phantom{f(x)}=15+24(x-2)+12(x-2)^2+2(x-2)^3$$

~plot~ 15+24(x-2)+12(x-2)^2+2(x-2)^3;[[-2|2|-5|5]] ~plot~

Comments

Huhu :D

Woher weiß ich, dass ich um a=2 entwickeln muss?

Warum wird nur bis Grad 4 das Taylorpolynom aufgestellt? Damit wir wissen, dass es keine Nullstellen oberhalb von 2 gibt und mehr Information brauchen wir nicht?

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Es sollen Potenzen von \((x-2)\) in der Entwicklung auftauchen. Wenn du dir die Taylor-Formel ansiehst, stellst du fest, dass darin \((x-a)^k\) vorkommt. Daran kannst du ablesen, dass \(a=2\) sein muss.

Das Taylor-Polynom endet mit der 3-ten Ordnung, weil \(f'''(x)=12\) die letzte Ableitung ist, die \(\ne0\) ist. Die vierte, fünfte, sechste... Ableitung ist \(0\), sodass alle folgenden Summanden in der Taylor-Formel verschwinden.

Für die Nullstellen-Argumentation schau dir die fertige Taylor-Entwicklung an:$$f(x)=15+24(x−2)+12(x−2)^2+2(x−2)^3$$Für \(x>2\) sind alle Potenzen von \((x-2)\) positiv. Die Talyor-Entwicklung hat dann nur positive Summanden (nie wird etwas abgezogen). Daher ist für \(x>2\) die Funktion immer größer als \(15\). [der erste Summand]. Oberhalb von \(x=2\) kann es also keine weitere Nullstelle geben.

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Danke dir hab's verstanden!

Answer 2

mit der Taylorformel erhält man (a=2 ; n=3)

f(x)  = 15 + 24·(x-2) + 12·(x-2)² + 2·(x-2)³ 

Dazu musst du für k ∈ {0, 1, 2, 3}  die ersten 3 Ableitungen f^(k) von f an der Stelle x=2  und jeweils k! bestimmen.

Dann kannst du die 4 Koeffizienten der Formel ausrechnen

            [ f⁽⁰⁾(2) = f(2) ; 0! = 1 ; (x-2)⁰ = 1 ]

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Kontrolle mit diesem Online-Rechner möglich:

https://de.numberempire.com/taylorseriesexpansion.php

Gruß Wolfgang

Comments

warum behandelst Sie nur das Taylorpolynom bis Grad 4 und woher kommen Sie auf den Entwicklungspunkt a=2?

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Warum behandelst Sie nur das Taylorpolynom bis Grad 4 

bis Grad 3, und das deshalb, weil die gegebene Funktion f hier bereits ein Polynom vom Grad 3 ist.

Entwickeln Sie ... mit dem Taylorpolynom nach Potenzen von  x-2
...
... und woher kommen Sie auf den Entwicklungspunkt a=2?

Da nach Potenzen von x-2 entwickelt werden soll, erkennt man mit einem Blick in der Formel a=2

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Danke dir hab's verstanden.

Answer 3

der Entwicklungspunkt soll a=2 sein.

Kannst du mit der Taylorformel machen, oder schreibe

f(x)=2x^3 -1

=2((x-2)+2)^3 -1 und multipliziere mit dem binomischen Lehrsatz aus.

Comments

Entwickeln Sie .... mit dem Taylorpolynom nach Potenzen von x-2

schließt Möglichkeit 2 wohl aus