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Aufgabe:

Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung zur Funktion \( \frac{1}{x²+1} \)  im Nullpunkt mit dem Potenzreihenansatz.


Problem/Ansatz:

Könnte uns jemand erklären, wie man an diese Aufgabe rangeht und vielleicht ein Beispiel vorrechnen?

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Die Funktion dreimal ableiten und die Ergebnisse in die Taylorformel einsetzen. Wie die aussieht wisst ihr?

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Also in den Bemerkungen steht, dass wir das mit einem Teil des Skripts lösen sollen, habe ich mal unten angehangen, sind uns trotzdem unsichera7dbcdebe7f831d58ab805d1edccf518.png

Text erkannt:

Bemerkung 17.9. Es sei
\( f: I \longrightarrow \mathbb{R} \)
eine \( n \)-fach differenzierbare Funktion, für die das Taylor-Polynom im Entwicklungзpunkl \( u \in I \) biз suıı Gial \( n \) bekanıı зci und füı die \( f(u) \neq 0 \) sei. Dann ist die Funktion 1/f auf einem offenen Intervall um \( a \) definiert und nach Lemma \( 14.7 \) (4) differenzierbar in \( a \). Aufgrund von Satz \( 9.13 \) gilt (für \( |x|<1 \) )
\( \frac{1}{1-x}=\sum \limits_{i=0}^{\infty} x^{i} \)
bzw.
\( \frac{1}{x}=\sum \limits_{i=0}^{\infty}(1-x)^{i}=\sum \limits_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}(x-1)^{i} \)
d.h. für die Funktion \( \frac{1}{x} \) ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt 1 bekannt. Wir ersetzen \( f \) durch \( h=\frac{1}{f(a)} f \), so dass \( h(a)=1 \) gilt. Dann kann man die Funktion \( 1 / h \) als die Verknüpfung von \( h \) mit der Funktion \( \frac{1}{x} \) schreiben. Daher
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erhält man wegen Bemerkung \( 17.8 \) das Taylor-Polynom bis zum Grad \( n \) von \( 1 / h \), indem man in \( \sum \limits_{i=0}^{n}(-1)^{i}(x-1)^{i} \) das Taylor-Polynom (bis zum Grad \( n \) ) von \( h \) im Entwicklungspunkt \( a \) einsetzt und beim Grad \( n \) abschneidet. Das Taylor=Polynom von \( 1 / f \) erhält man, indem man durch \( f(a) \) teilt.

Mit \( h(x) = 1 + x^2 \) ist die Funktion \( h \) schon als Taylorpolynom gegeben. Aus dem Skript folgt, das Taylorpolynom bis zum Grade \( n \) berechnet sich zu

$$ \sum_{i=0}^n (-1)^i (h(x) - 1)^i = \sum_{i=0}^n (-1)^i x^{2i} $$

Da beim Taylorpolynom die Potenz von \( x \) den Grad angibt, muss \( 2i \le 3 \) gelten, also \( i = 0,1 \)  und damit ergibt sich das Taylorpolynom zu

$$ T_h(x) = 1 - x^2 $$

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Aloha :)

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Führe das Problem auf die geometrische Reihe zurück:$$\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}=1-x^2+x^4\mp\cdots$$

Die Taylorreihe bis zur 3-ten Ordnung darf höchstens die Potenz \(3\) enthalten:$$T_3(x)=1-x^2$$

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