Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung zur Funktion \( \frac{1}{x²+1} \)  im Nullpunkt mit dem Potenzreihenansatz.

Problem/Ansatz:

Könnte uns jemand erklären, wie man an diese Aufgabe rangeht und vielleicht ein Beispiel vorrechnen?

Answer 1

Die Funktion dreimal ableiten und die Ergebnisse in die Taylorformel einsetzen. Wie die aussieht wisst ihr?

Comments

Also in den Bemerkungen steht, dass wir das mit einem Teil des Skripts lösen sollen, habe ich mal unten angehangen, sind uns trotzdem unsicher

Text erkannt:

Bemerkung 17.9. Es sei
\( f: I \longrightarrow \mathbb{R} \)
eine \( n \)-fach differenzierbare Funktion, für die das Taylor-Polynom im Entwicklungзpunkl \( u \in I \) biз suıı Gial \( n \) bekanıı зci und füı die \( f(u) \neq 0 \) sei. Dann ist die Funktion 1/f auf einem offenen Intervall um \( a \) definiert und nach Lemma \( 14.7 \) (4) differenzierbar in \( a \). Aufgrund von Satz \( 9.13 \) gilt (für \( |x|<1 \) )
\( \frac{1}{1-x}=\sum \limits_{i=0}^{\infty} x^{i} \)
bzw.
\( \frac{1}{x}=\sum \limits_{i=0}^{\infty}(1-x)^{i}=\sum \limits_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}(x-1)^{i} \)
d.h. für die Funktion \( \frac{1}{x} \) ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt 1 bekannt. Wir ersetzen \( f \) durch \( h=\frac{1}{f(a)} f \), so dass \( h(a)=1 \) gilt. Dann kann man die Funktion \( 1 / h \) als die Verknüpfung von \( h \) mit der Funktion \( \frac{1}{x} \) schreiben. Daher
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erhält man wegen Bemerkung \( 17.8 \) das Taylor-Polynom bis zum Grad \( n \) von \( 1 / h \), indem man in \( \sum \limits_{i=0}^{n}(-1)^{i}(x-1)^{i} \) das Taylor-Polynom (bis zum Grad \( n \) ) von \( h \) im Entwicklungspunkt \( a \) einsetzt und beim Grad \( n \) abschneidet. Das Taylor=Polynom von \( 1 / f \) erhält man, indem man durch \( f(a) \) teilt.

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Mit \( h(x) = 1 + x^2 \) ist die Funktion \( h \) schon als Taylorpolynom gegeben. Aus dem Skript folgt, das Taylorpolynom bis zum Grade \( n \) berechnet sich zu

$$ \sum_{i=0}^n (-1)^i (h(x) - 1)^i = \sum_{i=0}^n (-1)^i x^{2i} $$

Da beim Taylorpolynom die Potenz von \( x \) den Grad angibt, muss \( 2i \le 3 \) gelten, also \( i = 0,1 \)  und damit ergibt sich das Taylorpolynom zu

$$ T_h(x) = 1 - x^2 $$

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Führe das Problem auf die geometrische Reihe zurück:$$\frac{1}{x^2+1}=\frac{1}{1-(-x^2)}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-x^2)^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^nx^{2n}=1-x^2+x^4\mp\cdots$$

Die Taylorreihe bis zur 3-ten Ordnung darf höchstens die Potenz \(3\) enthalten:$$T_3(x)=1-x^2$$