Taylorpolynom zweiter Ordnung berechnen

Question

Aufgabe:Gegeben ist folgende Funktion;

$$ f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}, \quad h(x, y)=\cos (x) e^{x y} $$
Berechnen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung der Funktion \( h \) an der Entwicklungsstelle (0,0)

Comments

Arbeite mit den Potenzreihen von e^(xy) und cos(x).

Answer 1

Aloha :)

Die partiellen Ableitungen sind:$$h(x,y)=e^{xy}\cos x$$$$h_x(x,y)=ye^{xy}\cos x-e^{xy}\sin x=e^{xy}(y\cos x-\sin x)$$$$h_y(x,y)=xe^{xy}\cos x$$$$h_{xx}(x,y)=ye^{xy}(y\cos x-\sin x)+e^{xy}(-y\sin x-\cos x)$$$$h_{xy}(x,y)=e^{xy}\cos x+xye^{xy}\cos x-xe^{xy}\sin x$$$$h_{yy}(x,y)=x^2e^{xy}\cos x$$

Speziell an der Entwicklungsstelle \((0|0)\) lauten sie:$$h(0,0)=e^{0}\cos 0=1$$$$h_x(0,0)=0$$$$h_y(0,0)=0$$$$h_{xx}(0,0)=e^{0}(0-1)=-1$$$$h_{xy}(0,0)=e^{0}\cos 0=1$$$$h_{yy}(0,0)=0$$

Damit können wir das Taylor-Polynom 2-ter Ordnung bauen:

$$h(x,y)=h(0,0)+h_x(0,0)\,x+h_y(0,0)\,y$$$$\phantom{h(x,y)}+\frac{1}{2}\left(h_{xx}(0,0)\,x^2+2h_{xy}(0,0)\,xy+h_{yy}(0,0)\,y^2\right)$$$$\phantom{h(x,y)}=1+0\cdot x+0\cdot y+\frac{1}{2}\left(-1\cdot x^2+2\cdot1\cdot xy\right)$$$$\phantom{h(x,y)}=1-\frac{x^2}{2}+xy$$

Comments

Man hätte auch gleich die beiden Potenzreihen in (0,0) nehmen können.

(1+xy+(xy)^2/2+(xy)^3/3+...)(1-x^2/2+x^4/4! - .... )

für das Taylorpolynom zweiten Grades braucht man selbstverständlich nicht alle aufzuschreiben.