Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung p3(x) für die Entwicklungsstelle x0=0

Question

ich habe diese Aufgabe gerechnet:

Gegeben sei die Funktion: f(x)=e^x * cos(x)

(a) Bestimmen Sie das Taylorpolynom dritter Ordnung p₃(x) für die Entwicklungsstelle x₀=0

(b) Ermitteln Sie eine Schranke für den Fehler der Abschätzung von f(x) durch p₃(x) im Bereich [-0.1, 0.1] mithilfe des Langrangeschen Restglieds.

Ich habe zuerst die ersten 3 Ableitungen der Funktion gebildet:

f'(x) = e^x (cos(x)-sin(x))

f''(x) = -2 e^x sin(x)

f'''(x) = -2 e^x (sin(x) + cos(x))

und als Ergebnis für T₃(x) = 1 + x - 1/3x³

raus. Habe ich bis hierher alles richtig gemacht?

Was muss ich denn bei Aufgabenteil (b) machen?

Answer 1

bekannte Reihen (an x0=0)

e^x=1+x+x^2/2+x^3/6+...

COS(x)=1-x^2/2+0*x^3+...

e^x*COS(x)≈(1+x+x^2/2+x^3/6)*(1-x^2/2)

≈1+x-x^3/3

(Terme höherer Ordnung die bei der Multiplikation entstehen werden gestrichen)

Dein Ergebnis ist also richtig.

Bei b) schaust du im deinen Unterlagen mach, wie man das Lagrange -Restglied berechnet. 

(Oder hier:

http://www.mathematik.net/reihen-taylor-polynome/tp3s20.htm)

Es läuft dann daraus hinaus, die 4te Ableitung geeignet abzuschätzen.

Comments

Was muss ich denn wo einsetzen und berechnen?

R_n(x,x_e)= .... -- Restglied formel

Setze ich hier für x=-0.1 und x_e=0,1 ein

und für n=3 --> n+1 =4 und unser c ist 0 ?

Korrekt?

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Was setze ich in die Formel hier ein:
http://www.mathematik.net/reihen-taylor-polynome/tp3s20.htm

Was ist x, x_e, c, n, usw.?

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Für xe setzt du die Entwicklungsstelle 0

ein, für x setzt du 0.1 ein, für n setzt du 3 ein und c ist unbekannt. Den Term mit c sollst du abschätzen, also maximieren.

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Beachte dabei, dass c∈[-0.1,0.1] ist, ansonsten kann man den Term mit c nicht maximieren.