Aufgabe:
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Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung der Funktion \( f:(0, \infty) \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, f(x, y)=x^{y} \) um den Entwicklungspunkt \( (1,1) \).
Verwenden Sie (a), um \( 1,05^{1,02} \) mit einem Fehler \( <10^{-4} \) zu berechnen.
Hinweis: Es gilt \( \frac{1}{\alpha !}\left|D^{\alpha} f(x, y)\right| \leq 10^{-5} \) für alle \( x \in[1,1,05], y \in[1,1,02] \) und \( \alpha \in \mathbb{N}_{0}^{2} \) mit \( |\alpha|=3 \). Zeigen Sie dies für \( \alpha=(3,0) \) und nehmen Sie es für die übrigen \( \alpha \) ohne Beweis an.
Problem/Ansatz:
Für Aufgabe b) hatten wir für den Hinweis 1/6 * ∂^3 / ∂x x^y = y * (y-1) * (y-2) x^y gerechnet und dann für x und y ε1 und ε2 eingesetzt. Für das Maximum für das Restglied haben wir für x= 1 und y= 1,02 eingesetzt aber dann kommt
| -0,003025 | also nicht < 10^-5 und generell für die aufgabe müsste man noch * h^α = h^3 schreiben in dem fall aber da kommt auch nicht < 10^-4?
