Taylorpolynom zweiter Ordnung bestimmen

Question

Bestimmen Sie das Taylorpolynom zweiter Ordnung mit Entwicklungspunkt 0
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Comments

Was sind denn deine Ansätze???

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Ich hab mir so überlegt:

Wenn man f(x) einmal ableitet, bekommt man genau was in dem Integral steht, aber statt t schreibt man zuerst 2x und dann 0 und danach sublimiert man die beide von einander. Das lautet so:

$$ { e }^{ 2{ x }^{ 2 } }-\quad { e }^{ 0 } $$

Bei zweiter Ableitung $$ { e }^{ 2{ x }^{ 2 } } -1 $$

einfach nach x ableiten und da bekommt man:

$$ 4x{ e }^{ 2{ x }^{ 2 } } $$

Und dann f(x), f'(x) und f''(x) in die Formel einsetzen.

Ist das richtig?

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Falsch. f,f' und f'' müssen so lauten:

$$ f(x)=\frac{e^{2x^2}-1}{x}\\ f'(x)=\frac{4x^2e^{2x^2}-e^{2x^2}+1}{x^2}\\f''(x)=\frac{16x^4e^{2x^2}-4x^2e^{2x^2}+2e^{2x^2}-2}{x^3} $$

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Achso verstanden!

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Habe ein Problem... Bei der Frage ist die Entwicklungspunkt 0 gegeben. Aber im Nenner steht x, x² und x³. Wenn man für x 0 einsetzt, ist dann aber alle Ergebnisse unbestimmt. Was soll man jetzt machen?

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Du musst L'Hospital für jede Ableitung an der Stelle 0 anwenden. Also so hier:

$$ f(0)=\lim_{x \to 0}{\frac{e^{2x^2}-1}{x}}\stackrel{L'H}{=}\lim_{x \to 0}\frac{4xe^{2x^2}}{1}=0 $$

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Hallo

wie in meiner Antwort gesagt, lieber nicht integrieren, sondern direkt differenzieren, dann fällt jeweils das Integral von 0 bis 0 weg.

Gruß lul

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Erklär mir das mal bitte genauer. Weil wenn ich gleich differenziere, weiß ich doch nicht, was f(0) ist.Und f wird hier als ein Integral beschrieben.

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Weil wenn ich ableite komme ich an der Stelle x=0 zu folgenden Werten:

$$ f(0)=0\\f'(0)=2\\f''(0)=0 $$

Und das ergibt dann genau dasselbe Taylorpolynom, wie bei Gast jc2144, also

$$ f(x)\approx \sum_{k=0}^2\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\cdot x^k=2x $$

Answer 1

Hallo

das ist ein sog. Parameterintegral, du differenzierst es wie das z.B. in wiki unter dem Namen steht

(f(0)=0, f'(0)=2) jetzt bleibt für dich die längere Rechnung für f''. (Du solltest das Integral nicht integrieren!)

Gruß lul

Comments

Also bei erster Schritt, setzen wir für x 0 ein und daher beträgt das Integral 0. Bei zweiter Schritt (erste Ableitung) die Funktion in dem Integral bleibt und Integral fällt weg und 2x und 0 setzen wir hinein und subtrahieren wir den Ausdruck mit 0 von dem Ausdruck mit 2x. Und bei dritter Schritt (zweite Ableitung) leiten wir die Funktion bei der zweiter Schritt ab. Und dann setzen wir diese alle in die Formel mit den Entwicklungspunkt 0.

Habe ich richtig verstanden?

Mein Deutsch ist nicht so gut, hoffentlich ist es verständlich.

Answer 2

nutze die bekannte e-Reihe:

Integral (0 bis 2x) exp(xt)dt

≈ integral (0 bis 2x) Summe ( k=0 bis 2) (xt)^k/k! dt

=integral (0 bis 2x) (1+xt+x^2t^2/2) dt

= 2x+2x^3 +4x^5/3

≈2x

Dann spart man sich die Quälerei beim ableiten ;)