Aloha :)
Zunächst brauchen wir ein paar Ableitungen:$$f(x;y)=x^y$$$$\partial_xf(x;y)=yx^{y-1}$$$$\partial_y f(x;y)=\partial_y\left(e^{y\ln(x)}\right)=e^{y\ln(x)}\cdot\ln(x)=x^y\ln(x)$$$$\partial_{xx}f(x;y)=y(y-1)x^{y-2}$$$$\partial_{yx}f(x;y)=\partial_{xy}f(x;y)=yx^{y-1}\ln(x)+x^y\,\frac1x=x^{y-1}(y\ln(x)+1)$$$$\partial_{yy}f(x;y)=\partial_y(x^y\ln(x))=\ln(x)\partial_y(e^{y\ln(x)})=\ln^2(x)e^{y\ln(x)}=x^y\ln^2(x)$$
Speziell an der Stelle \(\vec a=(1;2)\) lauten diese Ableitungen:$$f(\vec a)=1$$$$\partial_xf(\vec a)=2\quad;\quad\partial_y f(\vec a)=0$$$$\partial_{xx}f(\vec a)=2\quad;\quad\partial_{yx}f(\vec a)=\partial_{xy}f(\vec a)=1\quad;\quad\partial_{yy}f(\vec a)=0$$
Damit können wir das gesuchte Taylor-Polynom formulieren:$$P_{2;\vec a}(x;y)=f(\vec a)+\partial_xf(\vec a)\cdot(x-a_x)+\partial_yf(\vec a)\cdot(y-a_y)+$$$$\phantom{P_{2;\vec a}(x;y)}+\frac12\left(\partial_{xx}f(\vec a)\cdot(x-a_x)^2+2\cdot\partial_{xy}f(\vec a)\cdot(x-a_x)(y-a_y)+\partial_{yy}f(\vec a)\cdot(y-a_y)^2\right)$$Der Faktor \(2\) vor \(\partial_{xy}f(\vec a)\) kommt daher, weil die 2-ten gemischten partiellen Ableitungen gleich sind, sodass wir zwei gleiche Terme erhalten:$$\partial_{xy}f(\vec a)\cdot(x-a_x)(y-a_y)=\partial_{yx}f(\vec a)\cdot(y-a_y)(x-a_x)$$
Wir setzen alles ein:$$P_{2;\vec a}(x;y)=1+2\cdot(x-1)+0\cdot(y-2)+$$$$\phantom{P_{2;\vec a}(x;y)}+\frac12\left(2\cdot(x-1)^2+2\cdot1\cdot(x-1)(y-2)+0\cdot(y-2)^2\right)$$$$\phantom{P_{2;\vec a}(x;y)}=1+2(x-1)+(x-1)^2+(x-1)(y-2)$$$$\phantom{P_{2;\vec a}(x;y)}=1+(x-1)(2+(x-1)+(y-2))$$$$\phantom{P_{2;\vec a}(x;y)}=1+(x-1)(x+y-1)$$
