Stammfunktion bilden, laut Formelsammlung

Question

Aufgabe:

Integral, Stammfunktion von  \( \frac{5}{2} \) t^5/2 bilden.

Laut meiner Formelsammlung gilt für die Stammfunktion von xⁿ, mit n != -1, : 1/(n+1) * xⁿ⁺¹

Problem/Ansatz:

Das wäre dann aber: \( \frac{5}{2} \) * 1/(5/2) * t^5/2

= \( \frac{5}{2} \) * 1/10 * t^5/2

= 5/20 * t^5/2 = 1/4*  t^5/2

Das ist aber falsch. Es muss nur t^5/2 rauskommen. Wo ist mein Fehler?

Answer 1

Die Regel hast du ja bereits völlig richtig aufgestellt. Du hast nur irgendwie nicht richtig eingesetzt

f(t) = 5/2 * t^{3/2}

F(t) = 5/2 / (3/2 + 1) * t^{3/2 + 1}
F(t) = 5/2 / (3/2 + 2/2) * t^{3/2 + 2/2}
F(t) = 5/2 / (5/2) * t^{5/2}
F(t) = 5/2 * 2/5 * t^{5/2}
F(t) = 1/1 * 1/1 * t^{5/2}
F(t) = t^{5/2}

Die Rechnung mit dem alten Exponenten

f(t) = 5/2 * t^{5/2}

F(t) = 5/2 / (5/2 + 1) * t^{5/2 + 1}
F(t) = 5/2 / (5/2 + 2/2) * t^{5/2 + 2/2}
F(t) = 5/2 / (7/2) * t^{7/2}
F(t) = 5/2 * 2/7 * t^{7/2}
F(t) = 5/1 * 1/7 * t^{7/2}
F(t) = 5/7 * t^{7/2}

Du hattest weder den Exponenten um 1 erhöht noch durch den erhöhten Exponenten geteilt.

Comments

Entschuldigung, ich hatte die Funktion falsch aufgeschrieben. Die Stammfunktion von 5/2 * t^3/2 soll gebildet werden.

Ich habe in Erinnerung, dass doch grundsätzlich bei a/b/c = a/b*c gilt. Aber irgendwie in diesem Falle ja doch nicht.

a/1 * c/b != a/b*c. Aber bei manchen Aufgaben galt doch diese Regel a/b/c = a/b*c.

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. Aber bei manchen Aufgaben galt doch diese Regel a/b/c = a/b*c.

Schon falsch.

Wenn man a/b/c als a:b:c interpretiert und wo man zuerst a:b rechnen muss und dann das Ergebnis noch durch c teilt, dann ergäbe das nicht a/b*c., sondern a/(b*c).

$$ \frac{1}{\frac{a}{b}} $$

beutet NICHT 1:a:b, sondern 1:(a:b) bzw. 1:\(\frac{a}{b} \).

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Danke! Und wie muss es aussehen, damit es a/(b*c) bedeutet??

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(a:b):c bzw.

$$\frac{\frac{a}{b}}{c}$$

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Wichtige Regel! Man teilt durch einen Wert, indem man mit dem Kehrwert multipliziert

$$\frac{a}{b} : c = \frac{a}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{a}{b \cdot c} \newline \frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$

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Vielen Dank! Bin da immer durcheinander gekommen und natürlich kommen dann da bei mir auch falsche Ergebnisse raus... Danke euch allen!

Answer 2

Aloha :)

Beim Ableiten von \(x^n\) wird mit dem Exponenten multipliziert und danach der Exponent um 1 vermindert:$$x^n\mapsto=n\cdot x^{n-1}$$

Beim Integrieren muss du das umkehren. Zuerst wird der Exponent um 1 erhöht und danach wird durch den neuen Exponeten dividiert:$$x^n\mapsto\frac{x^{n+1}}{n+1}$$

In deinem Fall bedeutet das:$$\frac52\cdot t^{\frac52}\mapsto\frac52\cdot\frac{t^{\frac72}}{\frac72}=\frac52\cdot\frac27\cdot t^{\frac72}=\frac57\cdot t^{\frac72}$$

Nach deinen Kommentaren hast du den falschen Exponenten angegeben...

Mit dem Exponent \(\frac32\) sieht die Rechung so aus:$$\int\frac52\cdot t^{\frac32}dt=\frac52\cdot\frac{t^{\frac52}}{\frac52}+\text{const}=\frac{5}{2}\cdot\frac{2}{5}\cdot t^{\frac52}+\text{const}=t^{\frac52}+\text{const}$$

Comments

Gilt diese Regel auch bei dieser Form: 1/(x+y)^2 ist ja das selbe wie (x+y)^-1

Hier gilt die Regel nicht, oder? Hier muss ich strikt folgende Regel anwenden, oder? :

1/x^2 = x^-1. Davon die Stammfunktion laut Spickzettel: -1/x. Aber wie erfolgt die Umformung von x^-1, um auf -1/x zu kommen? Wie integriert man hier?

Answer 3

Wenn n=5/2 ist, dann ist n+1=7/2.

Die Aufgabenstellung passt nicht zur Lösung.

Weiterhin hast du den Doppelbruch falsch aufgelöst.

1:\( \frac{5}{2} \) ist 1·\(\frac{2}{5} \).

Comments

Entschuldigung, n ist nicht = 5/2, sondern 3/2. Habe mich verschrieben. Also ist n+1 = 5/2.

Ist \( \frac{a}{b/c} \) denn nicht = \( \frac{a}{b*c} \),

also \( \frac{1}{5/2} \) = \( \frac{1}{5*2} \) ?

bzw \( \frac{1}{1} \)  geteilt durch \( \frac{5}{2} \) =   \( \frac{1}{1} \) * \( \frac{2}{5} \)  ?

Also, die Stammfunktion von 5/2 * t^3/2 soll gebildet werden, und das soll laut Lösung t^5/2 sein.