Stammfunktion bilden bei Funktion mit Bruch und Klammern

Question

Aufgabe:

Für eine Aufgabe muss ich die Stammfunktion von \( \frac{1}{(2x-1)^{2}} \) bilden.

Problem/Ansatz:

Ich habe Probleme mit dem Bruch und der Klammer. Vermutlich muss man hier die binomische Formel nutzen?

Ich habe jetzt -(2x-1)^-1 raus bekommen. Ist das richtig?

Das müsste dann ja auch -\( \frac{1}{(2x-1)^{1}} \) sein?

Ich bräuchte Tipps zur einfachen Bildung und am besten eine detaillierte Rechnung Schritt für Schritt.

Danke

Answer 1

Aloha :)

Ausführlich mit Substitution:

$$I=\int\frac{1}{(2x-1)^2}dx$$Substituiere: \(u:=2x-1\quad;\quad\frac{du}{dx}=2\quad;\quad dx=\frac{1}{2}du\)

$$I=\int\frac{1}{u^2}\cdot\frac{1}{2}du=\frac{1}{2}\int u^{-2}du=\frac{1}{2}\cdot\frac{u^{-1}}{-1}+c=-\frac{1}{2u}+c=\frac{-1}{2(2x-1)}+c$$

Kurzform mit Substitution:

$$\int\frac{1}{(2x-1)^2}dx=\frac{1}{2}\int(2x-1)^{-2}d(2x-1)=\frac{1}{2}\frac{(2x-1)^{-1}}{-1}\!+\!c\!=\!\frac{-1}{2(2x-1)}\!+\!c$$

Comments

Vielen Dank! Ist das nur mit der Substitution möglich oder kann man das auch anders lösen?

Wir haben das nämlich noch nie gehabt in der Schule.

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Mir fällt bei diesem Integral sonst nur noch der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ein. Du könntest das Ergebnis "erraten" und dann zeigen, dass die Ableitung des geratenen Ergebnisses gleich dem Integranden ist.

Answer 2

Mir Rechenweg:

https://www.integralrechner.de/